26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第2章 数学基线（视域映射/可见性/图变分）

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第2章 数学基线（视域映射/可见性/图变分）

一句话目标：给出视域映射 π_view、可见性 vis 与图变分能量的统一数学口径，建立透镜算子 Φ_lens 的谱-变分两口径等价关系与稳定性边界。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w), A, D, L（type ∈ {unnormalized, normalized} 明确），∇_G, div_G。
   • 视域与遮挡：Ω_view，π_view: V→Ω_view，遮挡集 O ⊆ Ω_view，可见性 vis: V×Ω_view→[0,1]。
   • 数据与观测：x_in ∈ R^{|V|}，y = Hx_true + v，H 可稀疏/子采样。
   • 权衡与参考：λ, β, τ ≥ 0，RefCond（采样率、精度、拉普拉斯类型、时间标尺）。
2. 输出
   • 变分透镜解 x' 与谱透镜 K_lens x_in，并行给出两口径差 delta_form_lens。
   • 可见性加权能量、稳定性/谱界、单位与量纲校核结果。
3. 边界与约束
   • 图为连通或按连通分量分解；vis 可二值或概率；π_view 与 vis 的测度显式。
   • 不含光学器件物理建模与电磁传播（见《EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0》）。

II. 名词与变量

• 图与谱：A（adjacency），D（degree），L = D - A 或 L = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}，UΛU^T 为谱分解。
• 微分对：∇_G: R^{|V|}→R^{|E|}，div_G = -∇_G^T（内积 ⟨x,y⟩ = x^T y）。
• 视域与可见性：π_view(v) ∈ Ω_view，vis(v,Ω) ∈ [0,1]，W_vis(Ω)=diag(vis(v,Ω))。
• 变分能量：E_dir(x) = (1/2) x^T L x，TV_G(x) = ( ∑_{(i,j)∈E} w_{ij} |x_i - x_j| )，TV_iso(x) = ( ∑_{i} ||(∇_G x)_i||_2 )。
• 透镜与核：Φ_lens，K_lens = g(L; θ)，K_focus = (I + β L)^{-1}，K_diff(τ) = exp(-τ L)。
• 量纲：unit(x_in) 与 unit(y) 保持一致；unit(L) = "[1]"（无量纲邻接权）或依赖加权定义。check_dim(y - Hx') 必须成立。
• 时间语义：计算在 tau_mono，发布在 ts；记录 offset/skew/J（见《…STG.Dynamics v1.0》与《…TimeBase》）。

III. 公设 P712-*

• P712-1（视域测度）：π_view 可测，( ∑_{v∈V} · ) 与 ( ∫_{Ω_view} · dμ ) 的离散-连续映射明确，μ(Ω_view)=1 标准化可选。
• P712-2（可见性一致）：vis 对遮挡单调：若 Ω1 ⊆ Ω2 则 vis(v,Ω1) ≤ vis(v,Ω2)；概率化 vis 必须是良定义的边缘概率。
• P712-3（算子对偶）：div_G = -∇_G^T 成立，E_dir(x) = (1/2) ||∇_G x||_2^2 在无权内积下等价；选定权重需落盘。
• P712-4（谱选择可追溯）：L 的类型、缩放与归一化哈希在 RefCond 中固化，避免跨实现漂移。
• P712-5（两口径并行）：谱口径（K_lens）与变分口径（x' = argmin E(x)）并行计算并记录差 delta_form_lens。
• P712-6（凸性与稳定）：若宣称可反演/稳定，则能量的光滑/强凸参数或谱界证据必须随结果发布。

IV. 最小方程 S712-*

1. S712-1（视域加权）：E_dir^vis(x;Ω) = (1/2) x^T W_vis(Ω) L W_vis(Ω) x；若使用边屏蔽，以 w_{ij} ← w_{ij} * m_{ij}(Ω)。
2. S712-2（图 TV）：
   • 各向异性：TV_G(x) = ( ∑_{(i,j)∈E} w_{ij} |x_i - x_j| )。
   • 各向同性：TV_iso(x) = ( ∑_{i} ||(∇_G x)_i||_2 )。
3. S712-3（ROF on Graphs）：
   x' = argmin_x ( (1/2) ||H x - y||_2^2 + λ TV_G(x) + β E_dir^vis(x;Ω) )。
4. S712-4（Euler–Lagrange / 一阶条件）：
   0 ∈ H^T (H x' - y) + β L^vis x' + λ div_G( ψ(∇_G x') )，
   其中 ψ(z) = z / max(ε, |z|)（各向异性）或 ψ(z) = z / max(ε, ||z||_2)（各向同性）。
5. S712-5（谱等价：二次情形）：当 λ=0 时，x' = (I + β L^vis)^{-1} x_in = K_focus x_in。
6. S712-6（扩散透镜）：x' = exp(-τ L^vis) x_in = K_diff(τ) x_in，且 ρ(K_diff) ≤ 1。
7. S712-7（近似与两口径差）：若以切比雪夫近似 g(L) ≈ ∑_{k=0}^m c_k T_k(ĤL)，
   delta_form_lens = || K_exact x_in - K_cheb x_in ||_2；流式窗口版 delta_form_stream = ( ∑_{t∈win} w_t ||·||_2^2 )^{1/2}。
8. S712-8（稳定性界）：二次能量下 ||x'||_2 ≤ ||x_in||_2；扩散核 ||K_diff||_2 = 1，K_focus 满足 ||K_focus||_2 ≤ 1。

V. 计量流程 M71-2（基线建模→求解→校核→落盘）

1. 基线设定：选择 L 类型与缩放；构建 π_view/vis 与（或）边屏蔽 m_{ij}(Ω)；固化 RefCond 与单位。
2. 能量装配：实例化 E_dir^vis、TV_* 与观测项；设定 λ, β, τ 的先验与搜索范围。
3. 两口径求解：
   • 变分：用 primal-dual/ADMM 解 S712-3 得 x'_var；
   • 谱：构造 K_lens（精确或切比雪夫）得 x'_spec。
4. 校核与稳定：评估 delta_form_lens、ρ(K_lens)、||H x' - y||_2、能量下降 E(x'_{k}) 单调性；传播 u_c。
5. 落盘：输出 Φ.hash/L.hash/π_view.hash/vis.hash、impl={exact,approx}、delta_form_lens、u/U、contracts.* 至 manifest.lens。

VI. 契约与断言 C71-2x（建议阈值）

• C71-21：adjoint_check = ||div_G + ∇_G^T||_2 ≤ 1e-10。
• C71-22：ρ(K_lens) ≤ 1 + ε（建议 ε ≤ 0.02），或 ||K_lens||_2 ≤ 1 + ε。
• C71-23：delta_form_lens ≤ tol_lens（默认 tol_lens = 1e-3 * ||x_in||_2）。
• C71-24：能量下降：E(x'_{k+1}) ≤ E(x'_k)；若不满足，强制回退或增大 β/τ。
• C71-25：观测一致：|| y - Hx' ||_2 ≤ r_cap（由 var(v) 标定）。
• C71-26：check_dim(y - Hx') = "[same]"；单位不一致禁止发布。

VII. 实现绑定 I71-*（接口原型、I/O、不变量）

• make_laplacian(graph, variant, scale) -> L, meta
  inv：meta.hash 固化类型与缩放；谱半径已量测。
• build_view_map(G, Ω_view, method) -> π_view, W_vis
  out：W_vis(Ω) 或边屏蔽 m_{ij}(Ω)；含 RefCond 与哈希。
• solve_graph_rof(H, y, λ, β, W_vis, opts) -> x'_var, report
  report：能量曲线、KKT 残差、停止准则。
• cheb_filter(L, coeffs, x_in) -> x'_spec, approx_report
  report：approx_order, 逼近误差上界。
• eval_delta_form_lens(x'_var, x'_spec) -> delta_form_lens
• assert_lens_contracts(ds, rules) -> report
• emit_lens_manifest(results, policy) -> manifest.lens
  不变量：Δt_win > 0；hash(*) 可追溯；div_G = -∇_G^T；delta_form_lens ≤ tol_lens。

VIII. 交叉引用

• 图算子/谱与稳定：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第4章（核与扩散）与第9章（数值稳定）。
• 运行时窗口/迟到与面板：见《…STG.Dynamics v1.0》第14章。
• 遮挡与 LOS/NLOS 语义：见《EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0》第3、7章。
• 子图与事件片段：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》第7、8章（复形与稳定性）。

IX. 质量与风控

• SLO/SLI：stability_margin = 1 - max(ρ(K_lens)-1,0)、inv_residual、delta_form_lens_p99、energy_drop_rate。
• 回退策略：δ_form 超阈→提高切比雪夫阶或切换精确谱；能量不降→调大 β 或加强凸化；谱界超限→缩放 L/减小 τ。
• 审计项：L.hash/π_view.hash/vis.hash、近似误差证据、能量收敛曲线、契约通过率。

小结

1. 本章确立了 π_view/vis 的测度化定义、图变分能量与谱-变分两口径的等价与差异度量；
2. 产出物与 manifest.lens.* 关键键：
   • L.hash, π_view.hash, vis.hash, Φ.hash, impl={exact,approx},
   • params={λ,β,τ,approx_order}, metrics={ρ(K),inv_residual,energy_drop},
   • delta_form_lens, tol_lens, u/U, contracts.*, signature。