26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第3章 透镜原语与算子族（节点/边/路径/子图）

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第3章 透镜原语与算子族（节点/边/路径/子图）

一句话目标：定义四类透镜原语（节点/边/路径/子图）与可组合的算子族 Φ_lens，给出谱-变分两口径的最小方程与实现绑定，支撑后续组合、反演与流式部署。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w), 邻接 A, 度矩阵 D, 拉普拉斯 L（类型与缩放在 RefCond 固化）。
   • 运行信号：x_in ∈ R^{|V|}；可选观测 y = H x_true + v。
   • 原语参数：节点权 w_node(v), 边门控 m_ij, 路径集合 Π={π_k}, 子图集合 S ⊆ V。
   • 模式与窗口：mode ∈ {offline, streaming}, win={Δt_win, Δt_slide}。
2. 输出
   • 原语透镜 Φ_node, Φ_edge, Φ_path, Φ_subgraph，与其组合 Φ_* = Φ_N ∘ Φ_E ∘ Φ_P ∘ Φ_S。
   • 透镜结果 x' = Φ_* (x_in) 与两口径差 delta_form_lens（精确谱 vs 近似/离线 vs 流式）。
3. 边界
   不改变量纲：unit(x') = unit(x_in)；不讨论物理传播时延（见《…PathCorrection v1.0》）。

II. 名词与变量

• 原语权与门控：W_node = diag(w_node(v))，M = {m_ij}（边门控），0 ≤ w_node, m_ij ≤ g_cap。
• 路径与子图：单路径 π: {v_0,…,v_L}；路径集权重 ρ_k ≥ 0；子图指示 P_S = diag(1_{v∈S})。
• 各向异性导通：C_ani(e)（沿路径方向高导通、横向低导通），B 为有向关联矩阵，L_C = B^T C B。
• 组合代数：∘（算子复合）、⊕（并行叠加/残差并合）、I（恒等）。
• 两口径：谱口径 K(·) 与变分口径 argmin E(·) 并行记录差 delta_form_lens。

III. 公设 P713-*

• P713-1（有界性）：所有原语对应的核 K 满足 ||K||_2 ≤ 1 + ε（默认 ε ≤ 0.02），或给出谱界证据。
• P713-2（可组合性）：Φ 的复合闭包成立；若 Φ_a, Φ_b 稳定，则 Φ_b ∘ Φ_a 的谱界可计算并落盘。
• P713-3（视域一致）：若原语依赖视域/遮挡，则统一使用 π_view/vis（见第2章），并在能量或核中显式加权。
• P713-4（两口径并行）：每个原语至少提供一种谱实现与一种变分实现，同一输入并行计算并记录 delta_form_lens。
• P713-5（不破坏连通性声明）：若原语标注“保连通”，则修改后的 L' 在主成分上保持连通（代数连通度 λ_2(L') > 0）。

IV. 最小方程 S713-*

1. S713-1（节点透镜 Node）
   • 谱口径：Φ_node(x) = W_node x，W_node = diag(w_node(v))。
   • 变分口径：x' = argmin_x ( (1/2) ||x - x_in||_2^2 + (β/2) || (I - W_node) x ||_2^2 )。
2. S713-2（边透镜 Edge；权重重标定）
   • 重新加权：A' = A ⊙ M，D'_{ii} = ∑_j A'_{ij}，L' = D' - A'。
   • 谱/扩散：x' = K_edge x_in = (I + β L')^{-1} x_in 或 x' = exp(-τ L') x_in。
   • 变分：x' = argmin_x ( (1/2)||x - x_in||_2^2 + (β/2) x^T L' x )。
3. S713-3（路径透镜 Path；沿路径各向异性）
   • 构造各向异性拉普拉斯：L_ani = B^T C_ani B，其中 C_ani(e) = c_∥ 若 e 平行于 Π 的切向估计 t_hat，否则 C_ani(e) = c_⊥，且 c_∥ ≥ c_⊥ ≥ 0。
   • 谱：x' = K_path x_in = exp( - τ L_ani ) x_in 或 x' = ( I + β L_ani )^{-1} x_in。
   • 变分：x' = argmin_x ( (1/2)||H x - y||_2^2 + (β/2) x^T L_ani x )。
4. S713-4（子图透镜 Subgraph；局部-边界条件）
   • Dirichlet 风格：固定边界 x_{V\setminus S} = x_in，解 x'_S = ( I + β L_{SS} )^{-1} ( x_in )_S - β ( I + β L_{SS} )^{-1} L_{S,~S} ( x_in )_{~S}；最后拼接 x'。
   • 投影核：K_sub = ( I + β P_S L P_S )^{-1}，x' = K_sub x_in。
5. S713-5（组合与两口径差）
   • 组合核：K_* = K_node K_edge K_path K_sub（按实施顺序复合），x'_spec = K_* x_in。
   • 两口径差：delta_form_lens = || x'_spec - x'_var ||_2，或流式窗口版 delta_form_stream = ( ∑_{t∈win} w_t ||·||_2^2 )^{1/2}。
6. S713-6（稳定性与谱界）
   • 若 K_i 可对角化于 U，则 ρ(K_*) ≤ ∏_i ρ(K_i)；扩散/Tikhonov 型满足 ρ(K_i) ≤ 1。
   • 子图透镜的泄漏界：leak = || x'_{~S} - x_in_{~S} ||_2 ≤ β || L_{~S,S} ||_2 || ( I + β L_{SS} )^{-1} ||_2 || x_in ||_2。

V. 计量流程 M71-3（原语选择→装配→校核→落盘）

1. 选择原语与参数：给定任务选择 node/edge/path/subgraph 及其顺序，确定 θ = {w_node, M, Π, S, β, τ}，固化 RefCond。
2. 构建算子：生成 W_node、L'、L_ani、K_sub；若依赖 π_view/vis，则注入可见性加权（见第2章）。
3. 两口径求解：
   • 谱：用精确谱或切比雪夫近似计算 x'_spec；
   • 变分：用 primal-dual/ADMM 解得到 x'_var。
4. 校核与稳定：评估 ρ(K_i) 与 ρ(K_*)、leak、delta_form_lens、|| y - Hx' ||_2；传播 u_c 与卫界 U。
5. 落盘发布：在 manifest.lens 中记录 Φ.hash, θ, impl, spectral_bounds, delta_form_lens, contracts.*, signature。

VI. 契约与断言 C71-3x（建议阈值）

• C71-31（权界）：0 ≤ w_node(v) ≤ g_cap、0 ≤ m_ij ≤ g_cap，默认 g_cap = 2。
• C71-32（谱稳定）：ρ(K_i) ≤ 1 + ε 且 ρ(K_*) ≤ 1 + ε_*（建议 ε, ε_* ≤ 0.02）。
• C71-33（保连通声明）：若标注“保连通”，需验证 λ_2(L') > 0。
• C71-34（子图泄漏）：leak ≤ tol_leak（建议 tol_leak = 1e-3 * ||x_in||_2）。
• C71-35（路径对齐）：路径各向异性方向一致性 align = ( ∑_{e∈E_Π} cos^2⟨e, t_hat⟩ / |E_Π| ) ≥ α_align（建议 α_align ≥ 0.8）。
• C71-36（两口径差）：delta_form_lens ≤ tol_lens（默认 1e-3 * ||x_in||_2）。
• C71-37（单位一致）：check_dim( x' - x_in ) = "[same]"。

VII. 实现绑定 I71-3*（接口原型、输入输出、不变量）

• build_node_lens(w_node, caps) -> Φ_node, meta
  inv：0 ≤ w_node ≤ g_cap；返回 W_node 与谱界证据。
• build_edge_lens(graph, M, variant, params) -> Φ_edge, meta
  in：variant ∈ {tikhonov, heat}, params ∈ {β | τ}；out：L', K_edge。
• build_path_lens(graph, paths, anisotropy, params) -> Φ_path, meta
  in：anisotropy = {c_∥, c_⊥} 或方向场；out：L_ani, K_path, align。
• build_subgraph_lens(graph, S, params, bc) -> Φ_subgraph, meta
  in：bc ∈ {dirichlet, proj}；out：K_sub, 泄漏界估计。
• compose_lenses([Φ_i], order) -> Φ_* , spectral_bounds
  inv：计算并落盘 ρ(K_*) 与近似误差界。
• apply_lens(Φ, x_in, mode, win) -> x', metrics
• eval_delta_form_lens(x'_spec, x'_var) -> delta_form_lens
• assert_lens_contracts(ds, rules) -> report
• emit_lens_manifest(results, policy) -> manifest.lens
  不变量：Δt_win > 0；hash(*) 可追溯；ρ(K_*) 与 delta_form_lens 必落盘；单位一致。

VIII. 交叉引用

• 谱核与切比雪夫近似：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第4章；数值稳定与刚性：见第9章。
• 视域/可见性权重：见《EFT.WP.STG.Lensing v1.0》第2章。
• 路径方向与世界线片段的构造：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》第5、7章。
• 运行时与流式 SLO/面板字段：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第14章。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：focus_gain, stability_margin, leak, delta_form_lens_p99, latency_p95, coverage。
• 回退策略：谱界越界→减小 β/τ 或提高近似阶；泄漏超阈→切换 bc 或缩小 S；对齐不足→重估方向场或路径集。
• 审计：保留 W_node/L'/L_ani/K_sub 构造证据、align/λ_2/leak 计算记录、契约通过率与异常样本。

小结

• 本章将图透镜分解为四个可组合原语，分别对应节点权、边门控、路径对齐与子图局部化；
• 给出谱-变分两口径的可计算方程与稳定界，以及统一的实现绑定与契约；
• manifest.lens 需新增键：primitive={node,edge,path,subgraph}, θ_primitive, spectral_bounds, align, leak, delta_form_lens, contracts.*。