26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第5章 透镜核与谱域实现（聚焦/散焦/各向异性）

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第5章 透镜核与谱域实现（聚焦/散焦/各向异性）

一句话目标：在图谱域给出聚焦/散焦/各向异性透镜核的谱-变分两口径可实现形式，提供稳定性与近似误差界，并绑定到流式执行。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w)，A,D,L 或归一化 L_n（unit(L)=1，dim(L)=[1]）。
   • 可见性与子图权：W_vis, m_ij（见第4章），可选各向异性权张量 C_ani(e)。
   • 信号与观测：x_in ∈ R^{|V|}，y = H x_true + v。
   • 实施参数：kind ∈ {focus, defocus, anisotropic}，params={α,β,τ,p,order}，mode ∈ {offline, streaming}，win={Δt_win,Δt_slide}。
2. 输出
   • 谱核实现 x'_spec = U g(Λ) U^T x_in 与变分实现 x'_var，两口径差 delta_form_lens。
   • 稳定性/近似指标：ρ(K), err_spec∞, cond，以及各向异性对齐度 align。
3. 边界
   核函数 g(λ) 需在 λ ∈ [λ_min, λ_max] 上有界且可近似；unit(x') = unit(x_in)。

II. 名词与变量

• 谱分解：L = U Λ U^T，Λ = diag(λ_k)，0 = λ_1 ≤ … ≤ λ_max。
• 核与算子：K = g(L) = U g(Λ) U^T；扩散核 g_diff(λ)=exp(-τ λ)；提霍诺夫核 g_tik(λ)=(1+β λ)^{-1}。
• 聚焦核：g_focus(λ) = 1 + α · h(λ)（高通增强），如 h(λ)=1 - exp(-τ λ) 或 h(λ)= λ / (1+β λ)。
• 散焦核：g_defocus(λ) = exp(-τ λ) 或 g_defocus(λ) = (1+β λ)^{-1}。
• 各向异性拉普拉斯：L_ani = B^T C_ani B，其中 C_ani(e) 在边 e 上给定 c_∥, c_⊥ 或张量谱。
• 近似与标度：切比雪夫阶数 order，谱标度 λ_scale ∈ [0,λ_max]；多项式 T_k。
• 两口径差：delta_form_lens = || x'_spec - x'_var ||_2。

III. 公设 P715-*

• P715-1（稳定上界）：若 g(λ) ∈ [0, 1+ε]，则 ρ(K) ≤ 1+ε，默认 ε ≤ 0.02。
• P715-2（两口径并行）：任一核均须给出谱实现与变分实现并行计算，记录 delta_form_lens。
• P715-3（各向异性正定）：C_ani(e) 半正定且 c_∥ ≥ c_⊥ ≥ 0，保证 L_ani 对称正定。
• P715-4（可见性一致）：若启用 W_vis/m_ij，则在 L^vis 或 L_ani^vis 上构建核；vis 不改变量纲。
• P715-5（近似可审计）：多项式近似需提供最大偏差 err_spec∞ = max_{λ∈[0,λ_max]} |g(λ)-\tilde g(λ)| 与阶数 order。

IV. 最小方程 S715-*

1. S715-1（谱口径统一式）
   x'_spec = ( U g(Λ) U^T ) x_in，或以谱测度写作 ( ∫_{λ∈spec(L)} g(λ) d μ_L(λ) ) 对应的算子作用于 x_in。
2. S715-2（散焦：扩散/提霍诺夫）
   • 扩散：x' = exp(-τ L) x_in = ( ∑_{k=0}^∞ (-τ)^k L^k / k! ) x_in。
   • 提霍诺夫：x' = ( I + β L )^{-1} x_in = argmin_x ( (1/2)||x-x_in||_2^2 + (β/2) x^T L x )。
3. S715-3（聚焦：高通增强/正则化反卷积）
   • 高通增强（非盲锐化）：x' = ( I + α ( I - exp(-τ L) ) ) x_in。
   • 反卷积：已知散焦核 K_blur=g_blur(L)，则
     x' = argmin_x ( (1/2)|| K_blur x - x_in ||_2^2 + (μ/2) x^T L^p x )，
     其谱响应 g_focus(λ) = 1 / ( g_blur(λ)^2 + μ λ^p ) * g_blur(λ)（p∈{1,2}）。
4. S715-4（各向异性核）
   • 各向异性扩散：x' = exp( - τ L_ani ) x_in 或 x' = ( I + β L_ani )^{-1} x_in。
   • 方向对齐度：align = ( ∑_{e∈E_Π} cos^2⟨e, t_hat⟩ / |E_Π| )（t_hat 来源于路径/纹理方向场）。
5. S715-5（切比雪夫近似与数值实现）
   • 令 \tilde L = (2/λ_max) L - I，则 g(L) x ≈ ∑_{k=0}^{order} c_k T_k( \tilde L ) x。
   • 误差界：err_spec∞ ≤ sup_{λ∈[0,λ_max]} | g(λ) - \tilde g(λ) |；运行误差 || x'_spec - x'_{cheb} ||_2 ≤ err_spec∞ ||x_in||_2。
6. S715-6（两口径一致性断言）
   • 二次变分情形满足等价：x'_var = ( I + β L_* )^{-1} x_in 与谱核一致，L_* ∈ {L, L^vis, L_ani}。
   • 记录 delta_form_lens = || x'_spec - x'_var ||_2，并与契约阈值比对。

V. 计量流程 M71-5（设计→近似→求解→校核→落盘）

1. 核型选择：依据任务选择 defocus/focus/anisotropic，设定 params 与 RefCond={L_type, λ_max, scaling}。
2. 谱设计：构造 g(λ)（含通带/阻带/滚降），若有 W_vis 或 L_ani，在相应算子上定义。
3. 快速近似：确定 order 与 λ_scale，生成切比雪夫系数 c_k 或 Lanczos 近似。
4. 两口径求解：
   • 谱：多项式-向量乘迭代得到 x'_spec；
   • 变分：primal-dual/CG 解得到 x'_var（反卷积用 CG/PCG）。
5. 校核与稳定：评估 ρ(K), err_spec∞, delta_form_lens, align（如启用各向异性），并计算 u_c, U。
6. 落盘发布：写入 manifest.lens：kernel.kind, g.hash, order, λ_max, err_spec∞, ρ(K), delta_form_lens, contracts.*, signature。

VI. 契约与断言 C71-5x（建议阈值）

• C71-51（谱稳定）：ρ(K) ≤ 1 + ε，默认 ε ≤ 0.02。
• C71-52（近似误差）：err_spec∞ ≤ 1e-3 或 || x'_spec - x'_{approx} ||_2 ≤ 1e-3 ||x_in||_2。
• C71-53（两口径差）：delta_form_lens ≤ 1e-3 ||x_in||_2。
• C71-54（锐化不过冲）：overshoot = || x' - Π_{range(x_in)}(x') ||_2 / ||x_in||_2 ≤ 0.02（如任务要求能量守恒）。
• C71-55（各向异性对齐）：align ≥ 0.8；否则降级为各向同性核。
• C71-56（单位一致）：check_dim( x' - x_in ) = "[same]"；核函数 unit(g)=1。

VII. 实现绑定 I71-5*（接口原型、输入输出、不变量）

• design_spectral_kernel(kind, params, λ_max) -> {g, meta}
  out：函数句柄/样表，meta={passband, rolloff, stability_bound}。
• chebyshev_apply(L|L^vis|L_ani, g, order, λ_max, x_in) -> x'_spec, report
  report：err_spec∞ 估计、matvec_calls、time_ms。
• solve_variational(kind, L|L_ani, x_in, extras) -> x'_var, report
  extras：K_blur（反卷积时）或正则阶 p。
• build_anisotropic_L(graph, orientation|paths, c_∥, c_⊥) -> L_ani, align, meta
  inv：c_∥ ≥ c_⊥ ≥ 0；返回 align 与条件数估计。
• compose_kernel_runtime(Φ_prev, K, mode, win) -> Φ_new
• eval_delta_form_lens(x'_spec, x'_var) -> delta_form_lens
• assert_kernel_contracts(ds, rules) -> report
• emit_lens_manifest(results, policy) -> manifest.lens
  不变量：order ≥ 0；λ_max > 0；hash(*) 可追溯；若启用可见性或各向异性，须记录对应 hash 与参数。

VIII. 交叉引用

• 图算子与核近似技术：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第4章；数值稳定/刚性：见第9章。
• 视域权与遮挡门控：见《EFT.WP.STG.Lensing v1.0》第4章。
• 路径方向与各向异性方向场：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》第7章。
• 运行时与面板指标：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第14章。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：err_spec∞, delta_form_lens_p99, ρ(K), align_p50/p90, latency_p95, matvec_per_sample。
• 回退策略：ρ(K) 越界→缩小 α/τ 或增大 β；err_spec∞ 偏大→提升 order 或更换近似域映射；align 低→退化为各向同性核。
• 审计：保留 g(λ) 采样曲线与 order/λ_max、err_spec∞ 计算证据、两口径差分布与异常样本、运行时资源曲线。

小结

• 给出了聚焦/散焦/各向异性三类透镜核的谱-变分并行实现与稳定性准则；
• 提供了切比雪夫快速近似与误差可审计路径；
• manifest.lens 新增关键键：kernel.kind, g.hash, order, λ_max, ρ(K), err_spec∞, delta_form_lens, anisotropy.{c_∥,c_⊥,align}, contracts.*, signature。