26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第6章 特征透镜与显著性（频带/形态/路径稀疏）

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第6章 特征透镜与显著性（频带/形态/路径稀疏）

一句话目标：在图谱域上构造“特征透镜”以提取显著结构，统一频带滤波、形态算子与路径稀疏三类机制的谱-变分两口径，实现可审计的显著性度量与选择。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w)，L 或 L^vis / L_ani（见第4/5章），unit(L)=1，dim(L)=[1]。
   • 信号：x_in ∈ R^{|V|}（标量或逐通道独立处理）。
   • 频带设计：带组 B={b}，每带核 g_b(λ) 与权重 a_b ≥ 0。
   • 形态结构元：S_r（图测地球半径 r 的邻域球）。
   • 路径集候选：Γ = { gamma_k(ell) } 或基于最短路/流形切向的样条候选。
   • 运行参数：mode ∈ {offline, streaming}，窗口 win={Δt_win, Δt_slide}。
2. 输出
   • 频带响应 x_b = g_b(L_*) x_in，形态响应 x_morph，路径稀疏选路 Γ_sel ⊆ Γ 与稀疏系数 α。
   • 显著性图 Sal ∈ R^{|V|}_{≥0}，掩模 Mask ∈ {0,1}^{|V|}。
   • 两口径差 delta_form_lens（谱核 vs 变分）。
3. 约束与边界
   • unit(x_b)=unit(x_in)；形态残差同量纲；路径测度显式 ( ∫_{gamma_k(ell)} · d ell )。
   • 各向异性/可见性可选，用 L_* ∈ {L, L^vis, L_ani} 统一。

II. 名词与变量

• 频带核与能量：x_b = U g_b(Λ) U^T x_in；带能量 E_b = ||x_b||_2^2。
• 形态算子（图域）：膨胀 dilate(x; r) = sup_{j∈S_r(i)} x_j，腐蚀 erode(x; r) = inf_{j∈S_r(i)} x_j。
• 形态梯度与顶帽：grad_m = dilate - erode，top_hat = x_in - open(x_in;r)。
• 路径稀疏：边-路径关联 B_P，系数 α，x_path = D_P α（D_P 为路径字典）。
• 显著性聚合：Sal = w_spec*Sal_spec + w_morph*Sal_morph + w_path*Sal_path，w_* ≥ 0。
• 两口径差：delta_form_lens = || x'_{spec} - x'_{var} ||_2（逐带或整体）。

III. 公设 P716-*

• P716-1（谱-变分并行）：对每个 g_b 与形态/稀疏口径均须同时给出谱实现与等价变分式，记录 delta_form_lens。
• P716-2（带组正则）：带组覆盖 spec(L_*) 且相邻带重叠受控（见 C71-62），避免频带空洞或过度冗余。
• P716-3（结构元单调）：r1 ≤ r2 ⇒ S_{r1}(i) ⊆ S_{r2}(i)，grad_m 随 r 单调非减。
• P716-4（路径测度显式）：任一路径算子使用 ( ∫_{gamma_k(ell)} · d ell )，gamma_k: [0,L_k]→R^d 与 L_k 可追溯。
• P716-5（单位与量纲）：check_dim( Sal ) = "[1]"；unit(Mask)=1，阈值 τ_s 无量纲。
• P716-6（时态一致）：win 内的显著性时间平均与峰值要声明权重与测度。

IV. 最小方程 S716-*

1. S716-1（频带特征透镜）
   • 带通核：g_b(λ) = exp( - τ_{b,lo} λ ) - exp( - τ_{b,hi} λ ) 或 g_b(λ) = (1+β_{b,lo}λ)^{-1} - (1+β_{b,hi}λ)^{-1}，τ_{b,hi} > τ_{b,lo}。
   • 谱实现：x_b = U g_b(Λ) U^T x_in；
   • 变分等价（二次情形）：x_b = argmin_x ( (1/2)||x - x_in||_2^2 + (β_{b,lo}/2) x^T L_* x ) - argmin_x ( (1/2)||x - x_in||_2^2 + (β_{b,hi}/2) x^T L_* x )。
2. S716-2（形态显著性）
   • grad_m(i;r) = dilate(x_in;r)_i - erode(x_in;r)_i；
   • 顶帽：top_hat(i;r) = x_in(i) - open(x_in;r)_i；
   • 归一：Sal_morph = norm( grad_m ⊙ mask_vis )，其中 mask_vis(i)=1_{vis_i>0}。
3. S716-3（路径稀疏与选择）
   • 稀疏编码：α = argmin_{α} ( (1/2)|| x_in - D_P α ||_2^2 + λ ||α||_1 )；
   • 显著性沿路径：Sal_path(i) = ∑_{k: i∈gamma_k} |α_k| / L_k；
   • 变分等价（TV 路径型）：x' = argmin_x ( (1/2)||x - x_in||_2^2 + λ || B_P x ||_1 )。
4. S716-4（频带显著性聚合）
   • 谱能量密度：Sal_spec(i) = ∑_{b∈B} a_b * (x_b(i))^2；
   • 归一阈决策：Mask(i) = 1_{ Sal(i) ≥ τ_s }，Sal = w_spec*Sal_spec + w_morph*Sal_morph + w_path*Sal_path。
5. S716-5（两口径差与稳定）
   • 逐带差：delta_b = || x_{b,spec} - x_{b,var} ||_2；
   • 总差：delta_form_lens = ( ∑_b delta_b^2 )^{1/2}；要求 ρ(g_b(L_*)) ≤ 1+ε_b 保证能量有界。

V. 计量流程 M71-6（设计→求解→聚合→校核→落盘）

1. 设计频带：确定 B、g_b(λ) 与权重 a_b，选择 L_*（可见/各向异性）。
2. 谱近似：为各 g_b 生成切比雪夫或 Lanczos 近似；设定 order_b 与 λ_max。
3. 两口径求解：
   • 谱：多项式-向量乘得到各 x_b；
   • 变分：以 CG/primal-dual 解对应二次/TV 问题，得 x_{b,var} 与路径-稀疏 α。
4. 形态计算：按 r ∈ R_set 计算 grad_m/top_hat，与 vis 掩模相乘抑制遮挡伪影。
5. 路径稀疏：构建 D_P/B_P，求 α 与 Sal_path，可做非极大值抑制沿 gamma_k。
6. 显著性聚合：得到 Sal 与 Mask，自适应阈值 τ_s = median(Sal)+κ*mad(Sal)。
7. 校核与发布：评估 coverage_s, δ overlap, err_spec∞, delta_form_lens, sparsity_level，写入 manifest.lens。

VI. 契约与断言 C71-6x（建议阈值）

• C71-61（稳定性）：对任意带 b，ρ(g_b(L_*)) ≤ 1 + 0.02。
• C71-62（带重叠控制）：相邻带重叠度 overlap(B_b,B_{b+1}) ≤ 0.25（按 ||g_b g_{b+1}||_2 / ||g_b||_2||g_{b+1}||_2）。
• C71-63（近似误差）：每带 err_spec∞(b) ≤ 1e-3。
• C71-64（两口径差）：delta_form_lens ≤ 1e-3 ||x_in||_2。
• C71-65（形态尺度合理）：r ≤ diam(G)/4 且 grad_m 的 p99 不跨越 clip_max（防止过度膨胀）。
• C71-66（稀疏水平）：sparsity = ||α||_0 / |Γ| ≤ 0.1，并且 ∑_k |α_k| 与 ||x_in||_2 同阶。
• C71-67（覆盖与假阳性）：coverage_s = |{i | Mask(i)=1}|/|V| ∈ [0.05, 0.6]（任务可调）。
• C71-68（单位校核）：check_dim( Sal ) = "[1]"，check_dim( x_b - x_in ) = "[same]"。

VII. 实现绑定 I71-6*（接口原型、输入输出、不变量）

• design_band_kernels(L_meta, bands_spec) -> {g_b}_B, meta
• apply_spectral_bands(L_*, {g_b}, order_b, x_in) -> {x_b}_B, report
• solve_variational_band(L_*, band_params, x_in) -> {x_{b,var}}_B, report
• graph_morphology(x_in, R_set, mode) -> {grad_m, top_hat}, meta
• build_path_dictionary(G, Γ_spec) -> {D_P, B_P, Γ}, meta
• sparse_path_select(x_in, D_P|B_P, λ) -> {α, Γ_sel, Sal_path}, report
• compose_saliency({x_b}, grad_m, Sal_path, weights) -> {Sal, Mask}, meta
• eval_delta_form({x_b},{x_{b,var}}) -> delta_form_lens
• assert_feature_contracts(ds, rules) -> report
• emit_lens_manifest(results, policy) -> manifest.lens
  不变量：order_b ≥ 0；λ_max > 0；R_set ⊂ N^+；Γ 可追溯且 L_k>0；hash(*) 完整记录。

VIII. 交叉引用

• 图核与谱近似：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第4章。
• 视域与遮挡：见《EFT.WP.STG.Lensing v1.0》第4章（W_vis 掩模）。
• 各向异性方向场与路径构造：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》第7/9章。
• 运行时发布与面板：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第14章。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：err_spec∞_p95, delta_form_lens_p99, overlap_p50, sparsity_level, coverage_s, latency_p95。
• 回退策略：近似误差超界→提升 order_b 或收缩带宽；delta_form_lens 超界→统一到变分口径并降低 β/τ；稀疏失效→调大 λ 或简化 Γ；形态伪影→减小 r 并启用 vis 掩模。
• 审计：保留 g_b(λ) 采样、order_b/λ_max、Sal 分布、Γ_sel 与 α 直方、契约通过率与异常样本。

小结

• 本章将频带滤波、形态梯度与路径稀疏统一为“特征透镜”体系，并以谱-变分两口径保证实现一致与可审计；
• 产出物与 manifest.lens.* 关键键：bands.*, g_b.hash, order_b, λ_max, R_set, Γ.hash, λ_sparsity, Sal.hash, Mask.ratio, err_spec∞, delta_form_lens, contracts.*, signature。