26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第7章 去透镜与反演（解卷积/正则/稀疏）

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第7章 去透镜与反演（解卷积/正则/稀疏）

一句话目标：针对由透镜算子引入的模糊/遮挡效应，给出谱-变分两口径的稳健反演（解卷积+正则+稀疏），并提供参数选取、数值稳定与契约审计的可执行规范。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w)；L_* ∈ {L, L^vis, L_ani}（见第4/5章），unit(L_*)=1，dim(L_*)=[1]。
   • 透镜核：K = g(L_*)，或参数化 g(λ; θ)（聚焦/散焦/各向异性，见第5章）。
   • 观测：y = K x_true + v（默认 v ~ N(0, σ^2 I)；可切换 Poisson/Laplace）。
   • 先验与算子：分析算子 Ψ ∈ {B, L_*^{p/2}, W_wavelet, D_P^T}；合成字典 D（含路径字典，见第6章）。
2. 输出
   • 反演估计：x_hat；（可选）核参数 θ_hat（半盲/盲反演）。
   • 两口径差：delta_form_inv = || x_spec_inv - x_var ||_2。
   • 质量与不确定度：res = ||K x_hat - y||_2，u_c(x_hat)，cond(K)。
3. 边界
   unit(x_hat)=unit(y)；若启用可见性/各向异性，须在 L_* 上定义并落盘 hash(*)。

II. 名词与变量

1. 谱逆核：g_inv(λ; μ, r) = g(λ) / ( g(λ)^2 + μ r(λ) )，r(λ) ∈ {1, λ^p}。
2. 变分目标：J(x)= (1/2)||Kx - y||_2^2 + μ R(x)；R(x) ∈ { (1/2)||L_*^{p/2}x||_2^2, ||Ψx||_1, ElasticNet }。
3. 稀疏口径
   • 分析式：min_x (1/2)||Kx - y||_2^2 + λ ||Ψx||_1。
   • 合成式：min_α (1/2)||K D α - y||_2^2 + λ ||α||_1，x = D α。
4. 噪声鲁棒：ρ_δ(·) 为 Huber 损失或 D_KL(y||Kx)（Poisson）。
5. 算法：CG/PCG（二次），FISTA/ADMM/PDHG（非平滑），切比雪夫近似用于 K,K^T 的矩阵-向量乘。

III. 公设 P717-*

• P717-1（两口径并行）：任何反演必须同时产出谱口径 x_spec_inv 与变分口径 x_var，记录 delta_form_inv。
• P717-2（稳定正则）：g_inv(λ; μ, r) 必须有界且单调于 μ；推荐 μ > 0 且 r(λ) ≥ 0。
• P717-3（算子可追溯）：K=g(L_*) 的 kind/θ/hash/λ_max/order 必须落盘；可见性/各向异性选择一并记录。
• P717-4（噪声匹配）：数据项的损失函数需与噪声模型一致，并声明 unit(y) 与 dim(y)。
• P717-5（步长安全）：一阶法步长满足 σ τ ≤ 1 / ||A||^2（A 为相应KKT线性算子）。
• P717-6（路径测度显式）：使用路径稀疏或TV时，显式 ( ∫_{gamma(ell)} · d ell ) 与 L_gamma。

IV. 最小方程 S717-*

1. S717-1（谱去透镜：维纳/提霍诺夫一体化）
   • 谱形式：x_spec_inv = ( U g_inv(Λ; μ, r) U^T ) y，其中 L_* = U Λ U^T。
   • 典型选择：r(λ)=1（零阶），r(λ)=λ^p (p∈{1,2})（平滑/曲率）。
2. S717-2（二次变分等价）
   x_var = argmin_x ( (1/2)||Kx - y||_2^2 + (μ/2) x^T L_*^p x )，满足
   x_var = ( K^T K + μ L_*^p )^{-1} K^T y，与 x_spec_inv 在共对角化时等价。
3. S717-3（L1 稀疏反演：分析/合成）
   • 分析：x_var = argmin_x ( (1/2)||Kx - y||_2^2 + λ ||Ψx||_1 )；
     prox_{λ||Ψ·||_1}(z) 以 Ψ-域软阈实现。
   • 合成：α_hat = argmin_α ( (1/2)||K D α - y||_2^2 + λ ||α||_1 )，x_var = D α_hat。
   • 等价条件：当 D 满足完备/正交，且 Ψ=D^T 时二者等价。
4. S717-4（鲁棒/Poisson 数据项）
   • Huber：min_x ∑_i ρ_δ( (Kx - y)_i ) + μ R(x)；
   • Poisson：min_x D_KL(y || Kx) + μ R(x)，D_KL(a||b)=∑( a log(a/b) - a + b )。
5. S717-5（半盲核估计）
   • min_{x, θ∈Θ} (1/2)|| U g(Λ; θ) U^T x - y ||_2^2 + μ R(x) + γ R_θ(θ)；
   • 一阶条件：∂/∂θ J = (∂g/∂θ)(Λ)^T ⊙ diag( U^T x, U^T r ) + γ ∂R_θ，r=Kx-y。
6. S717-6（两口径差与守恒）
   • delta_form_inv = || x_spec_inv - x_var ||_2；
   • 能量守恒/抑制：E_out = ||x_hat||_2^2 ≤ (1+ε) ||y||_2^2（解卷积防过冲）。

V. 计量流程 M71-7（就绪→建模→求解→校核→落盘）

1. 就绪：确定 K=g(L_*)、噪声模型、先验 R 与口径（分析/合成）；声明 RefCond={L_type, vis/ani, λ_max, order}。
2. 谱设计：按 R 选择 g_inv(λ; μ, r)；若半盲，给出 θ 的初值与约束集 Θ。
3. 近似与算子实现：以切比雪夫/兰索斯近似实现 K, K^T, g_inv(L_*) 的 matvec；构建 Ψ/D。
4. 两口径求解：
   • 谱：x_spec_inv ← g_inv(L_*) y；
   • 变分：二次用 PCG，L1/TV 用 FISTA/ADMM/PDHG，直到 res 或相对差收敛。
5. 参数选取：μ/λ 用差异原则（res≈κ σ √|V|）、L-curve、或 GCV；半盲时交替更新 (x, θ)。
6. 校核：评估 delta_form_inv、cond(K^T K + μ L_*^p)、E_out、鲁棒损失下降率、以及 u_c(x_hat)。
7. 落盘：manifest.lens.inverse.* = {kernel.hash, kind, θ, μ, λ, prior, solver, iters, res, delta_form_inv, err_spec∞, contracts.* , signature}。

VI. 契约与断言 C71-7x（建议阈值）

• C71-71（两口径差）：delta_form_inv ≤ 1e-3 ||y||_2（二次情形）；L1/TV 放宽至 3e-3。
• C71-72（稳定性）：ρ( g_inv(L_*) K ) ≤ 1 + 0.02；cond(K^T K + μ L_*^p) ≤ 1e6。
• C71-73（噪声匹配）：若高斯噪声，res_p50 ≈ σ √|V| ± 10%；Poisson 用 χ^2 规范化残差在 [0.8,1.2]。
• C71-74（稀疏一致）：分析/合成得到的支撑集合 Jaccard 相似度 J ≥ 0.7（在 ||x||_0 可比条件下）。
• C71-75（参数光滑）：半盲核参数变化 ||θ_{t}-θ_{t-1}|| ≤ θ_guard；越界触发回退。
• C71-76（单位与量纲）：check_dim( Kx - y ) = "[unit(y)]"；check_dim(R)= "[1]"。

VII. 实现绑定 I71-7*（接口原型、输入输出、不变量）

• invert_lens_spectral(L_*, g, μ, r, y) -> x_spec_inv, report
  report：err_spec∞, matvec_calls, time_ms。
• invert_lens_variational(K, prior, params, y, solver) -> x_var, report
  prior ∈ {"L2(p)", "L1-analysis(Ψ)", "L1-synthesis(D)", "ElasticNet", "TV_path(B_P)"}。
• select_reg_param(y, K, prior, rule) -> {μ|λ}, diag（rule ∈ {discrepancy, Lcurve, GCV}）。
• estimate_kernel_params(U, Λ, y, x_init, Θ, R_θ) -> θ_hat, diag（半盲）
• compose_path_prior(G, Γ_spec) -> {B_P|D_P}, meta（见第6章）
• eval_delta_form(x_spec_inv, x_var) -> delta_form_inv
• assert_inverse_contracts(ds, rules) -> report
• emit_lens_manifest(results, policy) -> manifest.lens
  不变量：λ_max>0；order≥0；μ,λ ≥ 0；若启用各向异性/可见性，hash(L_*) 与参数必填。

VIII. 交叉引用

• 透镜核与谱实现：见第5章；特征透镜与路径稀疏：见第6章。
• 图算子与核近似：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第4章；数值稳定与刚性：见第9章。
• 路径/拓扑先验：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》第7/9章（路径与图谱坐标）。
• 运行时与面板字段：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第14章。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：delta_form_inv_p99, residual_ratio, cond_p95, PSNR_gain（或 SNR_out/SNR_in）, latency_p95, matvec_per_iter。
2. 回退策略：
   • 差异超界→增大 μ/λ 或改用 L2；
   • 条件数过大→预条件/升阶正则或收缩带宽；
   • 半盲不收敛→冻结 θ 回退非盲；
   • 过冲/振铃→引入频带限制或切换到 TV_path。
3. 审计：保留 g(λ) 与 g_inv(λ) 采样、参数轨迹 θ_t、收敛曲线、契约通过率与异常样本、manifest 签名链。

小结

• 本章将去透镜问题统一为 谱逆核 + 变分正则 + 稀疏先验 的两口径框架；
• 给出了 L2/L1/TV/半盲 的可实现公式、参数选取与稳定边界；
• 面向运行时，定义了 manifest.lens.inverse.*、delta_form_inv 与关键 SLI/SLO 的审计与回退路径。