26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第8章 多层透镜与代数（串并/残差/门控）

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第8章 多层透镜与代数（串并/残差/门控）

一句话目标：建立透镜算子的代数体系，在谱-变分两口径下给出串联/并联/残差/门控的统一可计算与可审计实现，并保证稳定性与可追溯性。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w)；L_* ∈ {L, L^vis, L_ani}（见第4/5章），unit(L_*)=1。
   • 基元透镜：K_l = g_l(L_*)，l=1..L；各 g_l(λ) 由第5/6章设计。
   • 结构说明：struct ∈ {series, parallel, residual, gated}；并联权重 {w_l}，残差权重 {β_l}，门控参数 θ_g。
   • 观测或输入：x_in（特征或信号），可选参考 y（用于监督/校准）。
2. 输出
   • 复合透镜输出：x_out = K_eff x_in 或 x_out = F_gated(x_in)。
   • 代数元数据：K_eff.kind/params/hash；两口径差 delta_form_comp。
3. 边界与约束
   unit(x_out)=unit(x_in)；权重无量纲；若用路径门控需显式 ( ∫_{gamma(ell)} · d ell ) 与 L_gamma。

II. 名词与变量

• 串联（级联）：K_eff^series = Π_{l=1}^L K_l，若 L_* 共对角化，谱核 g_eff(λ)=∏_l g_l(λ)。
• 并联（加权和）：K_eff^parallel = ∑_{l=1}^L w_l K_l，w_l ≥ 0, ∑ w_l = 1 ⇒ g_eff(λ)=∑ w_l g_l(λ)。
• 残差（跳连）：K_eff^res = I + ∑_{l=1}^L β_l K_l，β_l ≥ 0；谱核 g_eff(λ)=1+∑ β_l g_l(λ)。
• 门控（依赖数据）：F_gated(x)= G(x;θ_g) · (K_b x) + (I - G(x;θ_g)) · (K_s x)，G(x)=diag(σ(h(x;θ_g)))。
• 两口径差：delta_form_comp = || x_spec - x_var ||_2。
• 稳定半径：ρ(·) 为谱半径；||·||_2 为谱范数。

III. 公设 P718-*

• P718-1（两口径并行）：任意复合透镜均须给出谱口径与变分口径结果并记录 delta_form_comp。
• P718-2（有界稳定）：要求 ρ(K_eff) ≤ 1+ε（默认 ε=0.02），串联时逐层 ||K_l||_2 ≤ 1+ε_l 且 ∏(1+ε_l) ≤ 1+ε。
• P718-3（并联保形）：并联权重非负且和为1；维持 unit(x_out)=unit(x_in)。
• P718-4（可交换性记录）：若 [K_i,K_j] ≠ 0，必须落盘实际执行顺序与哈希。
• P718-5（门控单调）：门控 σ 映射到 [0,1]，且 Lip(σ) ≤ 1；G(x) 不改变量纲。
• P718-6（路径测度显式）：路径门控或路径残差需声明 gamma(ell) 与 ( ∫_{gamma} · d ell )。

IV. 最小方程 S718-*

1. S718-1（谱口径的复合核）
   • 串联：x_spec = (U g_eff(Λ) U^T) x_in，g_eff(λ)=∏_l g_l(λ)。
   • 并联：x_spec = (U (∑_l w_l g_l(Λ)) U^T) x_in。
   • 残差：x_spec = (U (1 + ∑_l β_l g_l(Λ)) U^T) x_in。
2. S718-2（变分等价：和/积到能量的映射）
   • 并联 ↔ 正则相加：x_var = argmin_x ( (1/2)||x - x_in||_2^2 + ∑_l μ_l R_l(x) )，二次时 R_l(x)=(1/2)x^T L_*^{p_l} x 对应 g_l(λ) = (1+μ_l λ^{p_l})^{-1}。
   • 串联 ↔ 级联近端：x_var = prox_{μ_L R_L}∘…∘prox_{μ_1 R_1}(x_in)；二次情形与谱串联等价于核乘积。
   • 残差 ↔ 跳连正则：x_var = argmin_x ( (1/2)||x - x_in||_2^2 + ∑_l μ_l R_l(x) ) 后做 x_out = x_in + ∑_l β_l (x_in - x_var^{(l)})（线性时等价）。
3. S718-3（门控的变分表达）
   x_var = argmin_x ( (1/2)||x - x_in||_2^2 + μ_s ||W_s^{1/2}(x - K_s x_in)||_2^2 + μ_b ||W_b^{1/2}(x - K_b x_in)||_2^2 )，
   其中 W_b=G(x_in), W_s=I-G(x_in)；线性化于 x_in 的一次近似与谱门控一致。
4. S718-4（复合稳定界）
   • 串联：||K_eff^series||_2 ≤ ∏_l ||K_l||_2；并联：||K_eff^parallel||_2 ≤ ∑_l w_l ||K_l||_2；
   • 残差：||K_eff^res||_2 ≤ 1 + ∑_l β_l ||K_l||_2。
5. S718-5（两口径差）
   delta_form_comp = || x_spec - x_var ||_2，要求 delta_form_comp ≤ tol_comp（见契约）。

V. 计量流程 M71-8（设计→复合→求解→校核→落盘）

1. 设计基元：按第5/6章确定 {g_l}、L_* 与带宽/阶次；声明 RefCond={λ_max, order_l}。
2. 选择代数结构：struct、{w_l}, {β_l}、θ_g（门控）与是否启用路径项。
3. 谱实现：对每 g_l 生成切比雪夫/兰索斯近似；实现 apply_series/parallel/residual/gated 的 matvec 组合。
4. 变分实现：
   • 并联：∑ μ_l R_l(x) 用 CG（二次）或 PDHG/ADMM（含 L1/TV）。
   • 串联：用级联 prox 或“展开为层”的固定点迭代。
   • 门控：冻结 G(x_in) 做一次变分；需要时交替更新 G 与 x。
5. 稳定与参数选取：根据 ρ(K_eff)、cond(*) 与目标 SNR/PSNR 选择 {w_l, β_l, μ_l}；门控用验证集调 θ_g。
6. 校核：计算 delta_form_comp、ρ(K_eff)、err_spec∞、lat_ms、u_c(x_out)；若有 y，评估 ||K_eff x_in - y||。
7. 落盘：manifest.lens.compose.* = {struct, L_*.hash, {g_l.hash}, {w_l},{β_l}, θ_g.hash, ρ, err_spec∞, delta_form_comp, contracts.*, signature}。

VI. 契约与断言 C71-8x（建议阈值）

• C71-81（稳定半径）：ρ(K_eff) ≤ 1.02；若门控启用则 sup_x ρ(F_gated'(x)) ≤ 1.05。
• C71-82（并联权重）：w_l ≥ 0, ∑ w_l = 1；越界拒绝执行。
• C71-83（残差幅度）：∑_l β_l ||K_l||_2 ≤ 0.2（默认），防止过冲。
• C71-84（两口径差）：delta_form_comp ≤ 1e-3 ||x_in||_2（纯二次），含 L1/门控放宽至 3e-3。
• C71-85（可交换性记录）：若检测到 ||K_i K_j - K_j K_i||_2/||K_i K_j||_2 > 1e-3，必须固定顺序并落盘 order.hash。
• C71-86（门控边界）：0 ≤ G_ii(x) ≤ 1 且 Lip(G) ≤ 1；路径门控须提供 gamma.hash 与 L_gamma>0。
• C71-87（单位校核）：check_dim( x_out - x_in ) = "[same]"。

VII. 实现绑定 I71-8*（接口原型、输入输出、不变量）

• compose_lenses_spectral(L_*, {g_l}, struct, {w_l},{β_l}, θ_g?) -> {apply, K_eff_meta}, report
• solve_composite_variational(struct, priors, params, x_in[, y]) -> x_var, report
• measure_stability(K_eff_apply, probes) -> {rho, norm2}, diag
• gate_builder(G, θ_spec) -> G_fn, meta（支持节点/边/路径门控；σ 可选）
• eval_delta_form(x_spec, x_var) -> delta_form_comp
• assert_composite_contracts(ds, rules) -> report
• emit_lens_manifest(results, policy) -> manifest.lens
  不变量：λ_max>0；多项式 order_l ≥ 0；∑ w_l = 1；若 struct=series 则保持顺序不可变；所有 hash(*) 必填。

VIII. 交叉引用

• 透镜核与谱域实现：见本卷第5章；特征与门控来源：见第6章。
• 图算子与核近似：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第4章；数值稳定：见其第9章。
• 路径/拓扑先验：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》第7/9章（路径与图谱坐标）。
• 运行时发布与面板规范：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第14章。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：rho_p95, delta_form_comp_p99, err_spec∞_p95, latency_p95, matvec_per_call, overshoot_rate。
2. 回退：
   • ρ(K_eff) 超界→缩小 β_l/ w_l 或启用额外平滑核；
   • delta_form_comp 超界→提升近似阶或统一到变分口径；
   • 门控不稳→冻结 G 为常值或退化为并联；
   • 非交换性强→改变为并联结构或重排并记录。
3. 审计：保留 g_eff(λ) 采样、权重/门控轨迹、顺序与哈希、契约通过率、异常样本与回退原因。

小结

• 本章定义了多层透镜代数：串联=核乘、并联=核和、残差=恒等跳连、门控=数据依赖混配；
• 给出了与变分能量/近端级联的等价关系与稳定界；
• 以 manifest.lens.compose.* 与 delta_form_comp 实现可追溯、可审计的工程落地。