26-EFT.WP.STG.Lensing v1.0 | 第9章 学习型透镜（监督/自监督/因果不变）

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第9章 学习型透镜（监督/自监督/因果不变）

一句话目标：以数据驱动方式学习 K_θ = g(L_*)，在监督/自监督两范式下实现可审计、可泛化且因果不变的透镜，并保持与谱/变分两口径的对齐。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 图与算子：G=(V,E,w)；L_* ∈ {L, L^vis, L_ani}（见第4/5章），unit(L_*)=1。
   • 数据集：D = { (x_i, y_i, e_i) }（监督，y_i 为目标；e_i 为环境标签）或 D = { (x_i, e_i) }（自监督）。
   • 先验与约束：Stab/Monotone/Passivity 对 g(λ; θ) 的约束；结构先验（路径/稀疏/各向异性）。
2. 输出
   • 学习透镜：K_θ = g(L_*; θ)（可用切比雪夫/有理分式近似实现 matvec）。
   • 推断产物：x_hat = K_θ x，两口径差 delta_form_ml。
   • 不变性报告：跨环境风险 R_e、不变性度量与漂移监测。
3. 边界
   unit(x_hat)=unit(x)；θ 无量纲；训练与评估的环境集合需显式记录。

II. 名词与变量

• 学习核参数：θ；谱核 g(λ; θ)；学习算子 K_θ = U g(Λ; θ) U^T。
• 监督风险：R_sup(θ)= E[ ℓ( K_θ x , y ) ]，ℓ ∈ {L2, Huber, D_KL}。
• 自监督一致性：R_ssl(θ)= E[ d( K_θ Aug(x), Aug'( K_θ x ) ) ]，Aug 为图/谱一致增强。
• 因果不变：IRM/GroupDRO 正则，R_inv(θ)= ∑_e || ∇_w R_e(w∘K_θ)|_{w=1} ||_2^2 或 max_e R_e(θ)。
• 两口径差：delta_form_ml = || x_spec - x_var ||_2。
• 参数化：g(λ; θ)=∑_{k=0}^m a_k T_k(\tilde{λ})（切比雪夫，tilde(λ) ∈ [-1,1]），或有理式 p(λ)/q(λ)。

III. 公设 P719-*

• P719-1（两口径并行）：任何学习透镜必须给出谱实现 x_spec = (U g(Λ; θ) U^T) x 与变分等价 x_var = prox_{μ R}(x)（若存在），并记录 delta_form_ml。
• P719-2（有界稳定）：强制 sup_λ |g(λ; θ)| ≤ 1+ε 与 g(0; θ) ∈ [0,1]；训练中投影 θ ← Π_Θ(θ)。
• P719-3（因果不变）：训练目标必须含环境不变项 R_inv；若无环境标签，需构造代理环境（子图/时间窗/域标签）。
• P719-4（可追溯）：L_*、参数化方式、order/λ_max、增强族与环境划分均需落盘 hash(*)。
• P719-5（噪声匹配）：损失的统计假设与观测噪声一致（高斯/Poisson/Laplace）。
• P719-6（单位与量纲）：check_dim( K_θ x - y ) = "[unit(y)]"；学习不改变量纲。

IV. 最小方程 S719-*

1. S719-1（监督学习）
   ( θ_hat ) = argmin_θ ( E_{(x,y)}[ ℓ( K_θ x , y ) ] + μ ||θ||_2^2 + γ R_struct(θ) )，
   其中 R_struct 约束 g(λ; θ) 的单调/平滑：R_struct = ∑_λ ( d^2 g / dλ^2 )^2。
2. S719-2（自监督一致性）
   θ_hat = argmin_θ E_x [ d( K_θ Aug(x), Aug'( K_θ x ) ) + α d_spec( g(Λ; θ), S_target ) ]，
   其中 S_target 为期望谱形（如带通/低通），d_spec 为谱距离（如 L2 于采样点）。
3. S719-3（因果不变/多环境）
   θ_hat = argmin_θ ( ∑_e R_e(θ) + β R_inv(θ) )，
   或 θ_hat = argmin_θ max_{e∈E} R_e(θ)（GroupDRO）。
4. S719-4（谱参数化与稳定投影）
   • g(λ; θ)=∑_{k=0}^m a_k T_k(\tilde{λ})，并对系数施加 ∞-范数约束：|∑ a_k T_k| ≤ 1+ε；
   • 有理式：g(λ)= (∑ b_i λ^i) / (1 + ∑ c_j λ^j)，约束 q(λ) 零点远离 [0,λ_max]。
5. S719-5（变分等价与近端展开）
   • 若 g(λ) = 1 / (1 + μ λ^p)，则 K_θ ≡ (I + μ L_*^p)^{-1} 与 prox_{(μ/2)||L_*^{p/2}·||_2^2} 等价；
   • 对一般 g，以 prox 级联近似 x_var = prox_{R_m} ∘ … ∘ prox_{R_1}(x) 拟合 g。
6. S719-6（两口径差）
   delta_form_ml = || (U g(Λ; θ) U^T) x - x_var ||_2，契约要求 ≤ tol_ml。

V. 计量流程 M71-9（就绪→训练→蒸馏→校核→落盘）

• 就绪：选 L_* 与参数化族；划分环境 E（地域/时段/域源）；定义增强 Aug。
• 训练：最小化 R_sup 或 R_ssl + R_inv；每 T 步执行稳定投影与谱形审计。
• 蒸馏/可部署化：将 θ_hat 蒸馏为低阶切比雪夫系数或有理式，生成 apply(K_θ) 的 matvec。
• 两口径求解：以谱实现与变分近端展开并行得到 x_spec, x_var，计算 delta_form_ml。
• 不变性与漂移评估：报告 max_e R_e、gap= max_e R_e - min_e R_e、IRM_penalty。
• 校核：ρ(K_θ), cond(*), u_c(x_hat), PSNR/SSIM（若有 y）；触发回退策略（见 IX）。
• 落盘：manifest.lens.learn.* = {L_*.hash, param.kind, order, λ_max, θ.hash, distill.kind, tol_ml, ρ, metrics, env_splits.hash, aug.hash, contracts.*, signature}。

VI. 契约与断言 C71-9x（建议阈值）

• C71-91（稳定有界）：sup_λ |g(λ; θ)| ≤ 1.02；ρ(K_θ) ≤ 1.02。
• C71-92（两口径一致）：delta_form_ml ≤ 1e-3 ||x||_2（二次等价），含非平滑先验放宽至 3e-3。
• C71-93（不变性）："最坏环境" 超差：max_e R_e ≤ κ · median_e R_e，κ∈[1.15,1.3]。
• C71-94（泛化差）："域间差"：gap ≤ τ（默认 τ=10% 相对误差）。
• C71-95（训练可追溯）：必须提供 seed, optimizer, lr_schedule, epochs, early_stop.rule，以及 θ.hash。
• C71-96（单位一致）：check_dim( K_θ x - y ) = "[unit(y)]"。
• C71-97（近似阶）：蒸馏后 err_spec∞ = sup_λ |g(λ; θ) - ĝ(λ)| ≤ 5e-3。

VII. 实现绑定 I71-9*（接口原型、输入输出、不变量）

• train_lens_supervised(L_*, param_spec, data, loss, inv_reg, opts) -> {θ_hat, reports}
• train_lens_ssl(L_*, param_spec, data, aug, inv_reg, opts) -> {θ_hat, reports}
• distill_kernel(θ_hat, param_spec, target_order) -> {ĝ_coeffs, err_spec∞}
• apply_learned_lens(L_*, ĝ_coeffs, x) -> x_spec, meta
• prox_stack_builder(ĝ_coeffs) -> {prox_list, x_var_fn}
• eval_invariance(θ_hat, splits) -> {R_e, gap, irm_penalty}
• eval_delta_form(x_spec, x_var) -> delta_form_ml
• assert_learning_contracts(ds, rules) -> report
• emit_lens_manifest(results, policy) -> manifest.lens
  不变量：order ≥ 0；λ_max>0；θ、增强、环境划分的 hash(*) 必填；部署仅接受蒸馏后的 ĝ_coeffs。

VIII. 交叉引用

• 核与谱域实现：本卷第5章；多层组合：第8章（用于蒸馏后结构化部署）。
• 图算子与核近似：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第4章；数值稳定与刚性：见其第9章。
• 因果与不变性：见《EFT.WP.STG.Dynamics v1.0》第10章。
• 路径/拓扑先验与门控来源：见《EFT.WP.Particle.TopologyAtlas v1.0》第7/9章。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO：rho_p95, delta_form_ml_p99, err_spec∞_p95, PSNR/SSIM_p50, latency_p95, drift_score, max_env_gap。
2. 回退策略：
   • 稳定性超界→增加正则或降阶蒸馏；
   • 不变性失效→提升 β 或切换 GroupDRO；
   • 两口径差过大→增补 prox 层或提高谱近似阶；
   • 漂移告警→触发再训练或锁定到上一个签名版本。
3. 审计：保存 g(λ; θ_hat) 采样曲线、训练曲线、环境风险表、蒸馏误差、manifest 签名链与可复现配置。

小结

• 本章给出学习型透镜在监督/自监督/因果不变三要素下的统一目标函数与稳定约束；
• 通过谱参数化 + 变分等价 + 蒸馏实现可部署与可追溯；
• 以 delta_form_ml、ρ(K_θ) 与跨环境风险为核心 SLI/SLO，并提供契约与回退路径，落盘于 manifest.lens.learn.*。