28-EFT.WP.Propagation.PathRedshift v1.0 | 第8章 世界线、射线与路径积分

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第8章 世界线、射线与路径积分

一句话目标：在弱场/工程前提下，给出从世界线/射线求解到路径积分（相/群口径）的统一方法：构造 gamma(ell)、解射线方程、接口/边界拼接、并将 z 与 T_arr^{form1/form2} 的积分实现、误差与证据清单化。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 介质/势场：n_phi(f,x,t), n_g(f,x,t) 或 beta(ω,x)；（可选）弱场势 phi_grav(x)（仅用于路径项权衡，红移分项仍归第4章）。
   • 边界与几何：发/收端位置与姿态 {r_emit, r_obs, att}, 接口面集合 {Σ_j}（纤芯/空气/玻璃等），约束与公差 bc。
   • 初值/先验几何：起始射线 gamma0(ell)（直线/分段直线/大地线）；频段/带宽 B 与工作频率 f_0。
   • 参考条件：RefCond={timebase.hash, map/hash, met.hash, iono.hash, gravity.hash, tz, …}。
2. 输出
   • 射线路径 gamma(ell) 与单位切向量 t_hat(ell)；接口处法向/折射满足度；
   • 路径积分结果：T_phi=( ∫ n_phi/c_ref d ell )，T_g=( ∫ n_g/c_ref d ell )，两口径 T_arr^{form1/form2} 与 delta_form；
   • 清单 manifest.redshift.ray.* 与不确定度 u/U。
3. 边界
   默认各向同性/弱色散/弱场工程口径（Hamilton–Fermat 近似）；强各向异性/各向量/强场用扩展字段标注模型与阶次。

II. 名词与变量

• 射线与路径：gamma: [0,L_gamma]→R^3，t_hat = d gamma / d ell / |d gamma / d ell|，L_gamma = ( ∫_gamma 1 d ell )。
• 相位函数与 eikonal：S(x)，k = ∇S，|k| = k0 n_phi，k0 = 2π/λ_0 = ω_0/c_ref。
• Hamilton 光学：H(x,k) = (1/2)(|k|^2 - k0^2 n_phi^2(x)) = 0。
• 折射/接口：界面法向 n_j，Snell：n_1 sin θ_1 = n_2 sin θ_2。
• 量纲：unit(n_*)=1, unit(L_gamma)=[L], unit(T_*)=[T], unit(delta_form)=[T]。

III. 公设 P65-8x

• P65-801（路径显式与单调）：gamma(ell) 必单调（无回退）且分段显式；接口/拼段点必须记录。
• P65-802（两口径配套）：对每条 gamma，必须并行积分 T_arr^{form1/form2} 并记录 delta_form ≤ tol_Tarr。
• P65-803（测度与域显式）：任何积分/平均显式 ( ∫_{gamma(ell)} · d ell )、( ∫_{t∈W} · dt )、( ∫_{f∈B} · df )；接口处采用面元/法向明确。
• P65-804（量纲/时基）：check_dim( y - f(x) ) 通过；计算在 tau_mono，发布在 ts；对数量↔线性换算写入 scale.note。
• P65-805（RefCond 可追溯）：n_*/地图/星历/气象等来源与插值策略在 RefCond 落盘并带 hash/有效期。

IV. 最小方程 S65-8x

1. Eikonal/Hamilton–Fermat（各向同性、弱场）

• S65-801（eikonal）：|∇S(x)| = k0 n_phi(x)，相位前沿正交射线。
• S65-802（Hamilton 方程）：
  d x / d s = ∂H/∂k = k, d k / d s = -∂H/∂x = (k0^2/2) ∇(n_phi^2)，
  取弧长参数化并归一化得到：
  d ( n_phi t_hat ) / d ell = ∇ n_phi（Fermat 形式）。

2. 群口径修正（弱色散、窄带）

• S65-803：若使用群速口径，替换 n_phi → n_g = n_phi - f (d n_phi / d f)；
  射线路径几何对相/群一致，差异仅在 T_* 积分的 integrand。

3. 接口/拼接条件

• S65-804（Snell/法向）：在界面 Σ_j，n_1 sin θ_1 = n_2 sin θ_2，切向 k_t 连续；
  反射事件需显式标注并分支路径（多径归第12章）。

4. 弱场路径项（可选）

• S65-805：若考虑引力路径项近似，对 n_eff 做等效修正 n_eff ≈ n_phi ( 1 - 2φ_grav/c_ref^2 )；
  对应的 Shapiro 增量进入 ΔT_grav（第4章），本章仅影响射线几何。

5. 路径积分（两口径）

• S65-806：
  T_phi = ( ∫_{gamma(ell)} n_phi / c_ref d ell ), T_g = ( ∫_{gamma(ell)} n_g / c_ref d ell )；
  对第2章口径：T_arr^{form1} = (1/c_ref)( ∫ n_eff d ell )，T_arr^{form2} = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。

6. 灵敏度与雅可比（GUM）

• S65-807：到达时对介质与几何的灵敏度
  ∂T/∂n ≈ (1/c_ref) ∫ d ell, ∂T/∂x ≈ (1/c_ref) ∫ (∇ n · δx) d ell，
  离散步进下对分段节点位置/法向的雅可比可显式构建用于不确定度传播（第13章）。

V. 计量流程 M65-8（就绪→求解→积分→校核→落盘）

1. 就绪
   统一坐标与 DEM/地图；装载 n_phi/n_g 或 beta(ω) 与 RefCond；设定边界条件 bc = {r_emit, r_obs, Σ, tol_geo} 与先验 gamma0。
2. 求解射线
   • 选择口径：eikonal/Fermat/Hamilton；
   • 迭代/射线追迹：Runge–Kutta/射线步进 + 接口 Snell 修正；
   • 收敛与容差：终端误差 ||gamma(L_gamma)-r_obs|| ≤ tol_geo，接口切向连续度 ≤ tol_snell。
3. 路径积分
   • 计算 T_phi, T_g 与 T_arr^{form1/form2}，记录 delta_form；
   • 频带（窄带/宽带）与相/群映射按第7章口径记录 ΔT_map（若需要）。
4. 校核
   • check_dim(T_*)="[T]"；delta_form ≤ tol_Tarr；
   • 直线近似对比：||gamma - line||_max ≤ tol_line（光纤直段/FSO 视距）；
   • 不确定度传播：构建雅可比 J_T 并估计 u(T) 与覆盖 U=k·u_c（第13章）。
5. 落盘
   manifest.redshift.ray = {gamma.hash, segments:[{Σ_j, n_jump, snell_resid}], solver:{mode, step, tol}, T_phi, T_g, T_arr_forms:{form1,form2,delta_form}, ΔT_map?, u/U, RefCond, contracts.*, signature}。

VI. 契约与断言 C65-8x（建议阈值）

• C65-801（单调与端点）：non_decreasing(ell) 且 ||gamma(L_gamma)-r_obs|| ≤ tol_geo。
• C65-802（接口一致）：切向连续度 ≤ tol_snell，非法反射事件必须标注或拒发。
• C65-803（两口径差）：delta_form_p95 ≤ tol_Tarr；若宽带映射，ΔT_map_p95 ≤ tol_map。
• C65-804（直线性/合理性）：FSO 直视段 curvature_max ≤ tol_curv；光纤直段 bend_radius ≥ R_min（来自清单/图纸）。
• C65-805（量纲合规）：unit(T_*)=[T], unit(n_*)=1；换算与插值策略落盘。

VII. 实现绑定 I65-8*（接口原型、输入输出、不变量）

• I65-81 estimate_geometry(anchors, dem, constraints) -> gamma0
• I65-82 solve_ray(n_field, gamma0, bc) -> gamma（Fermat/Hamilton；收敛/步长/接口列表）
• I65-83 integrate_path(n_eff, gamma, c_ref) -> {T_form1, T_form2, delta_form}
• I65-84 check_interfaces(gamma, Σ) -> {snell_resid[], tags}
• I65-85 jacobian_T(n_field, gamma) -> {J_T, u_T}（GUM/MC 接口）
• I65-86 assert_ray_contracts(ds, rules) -> report
• I65-87 emit_ray_manifest(results, policy) -> manifest.redshift.ray
  不变量：two_forms_present=true；check_dim(*) 通过；gamma.hash/RefCond.hash 可追溯；收敛与接口容差满足契约。

VIII. 交叉引用

• 红移基线与两口径：第2章；运动/引力/介质分项：第3–5章；频散映射：第7章；观测与 PLL/谱线：第9章；融合与校准：第10/11章；不确定度与发布：第13章与附录 C/E。
• 光纤/自由空间传播补偿：参考《EFT.WP.Packets.Light v1.0》第6章（CD/PMD/非线性）与第7章（FSO）。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：tol_geo 达成率、snell_resid_p95, delta_form_p95, curvature_max, bend_radius_min, panel_freshness。
• 回退策略：求解不收敛→放宽初值/步长、切换求解口径；接口违约→重构段/更正材料/标注反射分支；两口径差超限→统一到 form2 并回写 n_* 源。
• 审计：gamma/hash 版本与接口列表、直线对比与曲率、收敛日志、manifest.redshift.ray 签名链与回放脚本。

小结

• 本章把世界线/射线求解与路径积分统一到工程可执行的框架，规范了相/群口径下 T_* 的计算与两口径校核；
• 通过 M65-8/C65-8x/I65-8* 与 manifest.redshift.ray.*，实现路径与积分的可追溯、可审计、可回退，为后续观测口径（第9章）与融合校准（第10/11章）提供稳定几何基线。