30-EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0 | 第3章 最小方程与推导概览

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第3章 最小方程与推导概览

I. 一句话目标

一句话目标：以最小集合给出本卷所依赖的方程与变分关系，规范 Phi_T(x,t)，n_eff(x,t,f) 与 T_arr 的统一口径，并指明可检验与可反演的核心公式，详细推导置于附录 C。

II. 范围与非目标

• 覆盖内容：Phi_T 的定义与规范，n_eff 的函数依赖与分解，到达时两类口径，敏感度与反演的一阶变分式，基本不等式与拼接性质。
• 非目标：不展开长篇证明与数值算法细节，不涉及装置级工程参数，不给出特定数据集的拟合结果。

III. 术语与符号最小集

• 势与梯度：Phi_T(x,t)，grad_Phi_T(x,t)。
• 有效折射率与速度：n_eff(x,t,f)，c_ref，c_loc(x,t,f) = c_ref / n_eff(x,t,f)。
• 路径与测度：gamma(ell)，d ell，路径长度 L_path = ∫ d ell。
• 到达时：T_arr。
• 物理依赖：rho(x,t)（必要时出现）。

IV. 公设与约束（调用第2章 P20-*）

• 调用 P20-1：局域传播上限由 c_loc = c_ref / n_eff 给定，且 n_eff ≥ 1。
• 调用 P20-2：单连通域内存在可用的 Phi_T，非单连通域采用分片势与匹配条件。
• 调用 P20-3：规范固定，例如 Phi_T(x_ref,t_ref) = 0。
• 调用 P20-5：n_eff = n_common(x,t) + n_path(x,t,f) 的频带分解在预设阈值内成立。

V. 最小方程 S20-*

1. S20-1 张度势的定义与规范
   Phi_T(x,t) = G( T_fil(x,t) )
   约束：dG/dT_fil > 0，确保单调与可比。
   规范：Phi_T(x_ref,t_ref) = 0。
2. S20-2 有效折射率的函数依赖
   n_eff(x,t,f) = F( Phi_T(x,t), grad_Phi_T(x,t), rho(x,t), f )
   约束：n_eff(x,t,f) ≥ 1，dim(n_eff) = 1。
3. S20-3 频带分解
   n_eff(x,t,f) = n_common(x,t) + n_path(x,t,f)
   其中 n_common 为 common（frequency-independent）term，n_path 为 path term。
4. S20-4 到达时两口径
   • 常量外提口径：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
5. S20-5 频带差分到达时（隔离 path term）
   • 常量外提口径下
     ΔT_arr(f1,f2) = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ ( n_path(x,t,f1) - n_path(x,t,f2) ) d ell )
   • 一般口径下
     ΔT_arr(f1,f2) = ∫ ( ( n_path(x,t,f1) - n_path(x,t,f2) ) / c_ref ) d ell
6. S20-6 基本不等式与下界
   n_eff ≥ 1 推得
   常量外提口径：T_arr ≥ L_path / c_ref
   一般口径：T_arr ≥ ∫ ( 1 / c_ref ) d ell
7. S20-7 路径拼接性质
   设 gamma = gamma_1 ∘ gamma_2，则
   常量外提口径：T_arr[gamma] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]
   一般口径等价成立。
8. S20-8 规范不变性判据
   若 n_eff = F( grad_Phi_T, rho, f ) 不含 Phi_T 的绝对值，则在变换 Phi_T → Phi_T + const 下有 ΔT_arr = 0。

VI. 一阶变分与敏感度（反演与计量骨架）

• S20-9 常量外提口径的一阶变分
  δT_arr = ( 1 / c_ref ) * ∫ [ (∂n_eff/∂Phi_T) · δPhi_T + (∂n_eff/∂grad_Phi_T) · grad(δPhi_T) + (∂n_eff/∂rho) · δrho ] d ell
• S20-10 一般口径的一阶变分
  δT_arr = ∫ [ (δn_eff / c_ref) - ( n_eff · δc_ref / c_ref^2 ) ] d ell
• S20-11 路径差分灵敏度
  对两条路径 gamma_a 与 gamma_b
  ΔT_arr = T_arr[gamma_a] - T_arr[gamma_b] = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_a n_eff d ell - ∫_b n_eff d ell )
  用于隔离几何与介质差异的贡献。

VII. 计量与标定流程（调用 M20-* 骨架）

• M20-1 参照速度标定：以基准路径 gamma_ref 与已知 T_arr_ref 标定 c_ref。
• M20-2 分项识别：通过多频带与多路径联合实验估计 n_common 与 n_path。
• M20-3 规范落盘：记录 Phi_T 的规范与界面匹配条件，固化到报告契约。

VIII. 实现绑定与接口（调用 I10-* 与 I20-*）

• I10-4 arrival_time_constant(n_eff, gamma, c_ref) -> T_arr
  实现 T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )。
• I10-5 arrival_time_general(n_eff, gamma, c_ref) -> T_arr
  实现 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• I20-1 declare_n_eff_dependencies(Phi_T, grad_Phi_T, rho, f) -> Contract
  固化 F 的依赖、域与值域、单位与量纲检查。

IX. 交叉引用

• 《EFT.WP.Core.Tension v1.0》S12-*
• 《EFT.WP.Core.Sea v1.0》S08-*
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》S06-*
• 《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》M05-，M10-
• 《EFT.WP.Core.Errors v1.0》M20-*

X. 验证与否证线

• 可验证性：利用多频带差分公式 ΔT_arr(f1,f2) 验证 n_path 的存在与幅度；利用路径拼接性质检验积分一致性；利用不等式下界检验物理可行域。
• 否证条件：任何实验组合若使 n_eff ≥ 1 与两口径之一不可同时满足，或规范平移导致可观测 T_arr 变化且模型宣称仅依赖 grad_Phi_T，则否证对应假设。

XI. 系统误差防护

• 路径与测度：强制记录 gamma(ell) 的生成法与 d ell 的求积规则，避免采样漂移。
• 频带泄漏：在 n_common 与 n_path 的分解中设置带外抑制，残差计入 u_sys。
• 规范一致性：跨实验保持相同的 Phi_T 规范，界面匹配条件一致。
• 量纲核查：在接口层执行 check_dimension，确保 dim(T_arr) = [T]。

XII. 产出物

• 最小方程卡片：S20-1 至 S20-11。
• 差分与下界的快速检查清单：ΔT_arr 与 T_arr ≥ L_path / c_ref。
• 变分骨架与依赖契约模板：用于计量与反演实现的统一入口。