30-EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0 | 第6章 路径表述与到达时口径

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第6章 路径表述与到达时口径

I. 一句话目标

一句话目标：规范路径 gamma(ell) 与测度 d ell 的数学表述，给出到达时 T_arr 的两类计算口径及其适用条件，配套离散化与收敛准则，并明确与 path term 的关系与分离方法。

II. 范围与非目标

• 覆盖内容：路径与测度定义，常量外提口径与一般口径，频带差分与 path term 分离，数值实现与收敛条件，接口与记录规范。
• 非目标：不重述第4章 Phi_T 的构建，不替代第5章 n_eff 的标定与分解，不展开装置级工程参数。

III. 术语与符号最小集

• 路径与测度：gamma(ell)，ell ∈ [0,L]，线元 d ell，路径长度 L_path = ∫ d ell，单位切向 t_hat(ell) = d gamma / d ell / norm( d gamma / d ell )。
• 有效折射率与速度：n_eff(x,t,f)，c_ref，c_loc(x,t,f) = c_ref / n_eff(x,t,f)。
• 到达时：T_arr。
• 频带分解：n_eff = n_common(x,t) + n_path(x,t,f)。

IV. 路径与测度定义（调用第2章 P20-4）

要点

• 路径 gamma(ell) 分片可微，n_eff( gamma(ell), t, f ) 在路径上分片连续，保证路径积分存在。
• 积分不随参数重标度而变，需保持 d ell 与 gamma(ell) 的一致生成法。

控制式

• 路径积分通式：∫_gamma g( x ) d ell = ∫_{0}^{L} g( gamma(ell) ) d ell。
• 方向一致性：t_hat(ell) = d gamma / d ell / norm( d gamma / d ell )。

V. 到达时两口径（调用第3章 S20-4）

控制式

• 常量外提口径：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )。
• 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。

适用条件

• 常量外提口径：c_ref 在相干窗口内与频带无关且可视为常量。
• 一般口径：当 c_ref 与状态或频率存在可测弱相关时使用，不将 c_ref 外提。

不等式下界

• 由 n_eff ≥ 1 得：T_arr ≥ L_path / c_ref（常量外提口径），一般口径等价成立且在 c_ref 内嵌积分。

VI. 与 path term 的关系与分离

差分到达时（调用第3章 S20-5）

• 常量外提口径：ΔT_arr(f1,f2) = ( 1 / c_ref ) * ∫ [ n_path( x,t,f1 ) − n_path( x,t,f2 ) ] d ell。
• 一般口径：ΔT_arr(f1,f2) = ∫ [ ( n_path( x,t,f1 ) − n_path( x,t,f2 ) ) / c_ref ] d ell。

要点

• 使用多频带同一路径的差分，消去 n_common，仅度量 path term。
• 对多路径 gamma_a 与 gamma_b，比较 ΔT_arr 可隔离几何与介质差异对 path term 的贡献。

VII. 数值实现与收敛条件

离散化与求积

• 路径离散：{ gamma[k] }_{k=0}^{N} 与 Δell[k] 一致生成，零基索引，步长可等距或自适应。
• 求积方案：优先使用带误差估计的自适应求积，必要时对 n_eff( gamma(ell) ) 进行片段多项式或样条近似。
• 界面处理：在界面集合 Sigma 处分片积分并显式添加段端点，避免跨界面插值。

收敛准则

• 网格细化比 r 的双层或三层收敛测试，要求 | T_arr^{(fine)} − T_arr^{(coarse)} | ≤ eps_T，阈值在计量流程中设定。
• 按曲率与梯度控制步长：当 norm( d^2 gamma / d ell^2 ) 或 norm( d n_eff / d ell ) 超阈值时缩小步长。
• 不稳定指示：若细化后 T_arr 单调漂移或震荡，回溯第5章 n_eff 的分解与夹持以及第4章的平滑尺度。

离散通式

• 常量外提口径：T_arr ≈ ( 1 / c_ref ) * ∑_{k=0}^{N-1} n_eff( gamma[k] ) · Δell[k]。
• 一般口径：T_arr ≈ ∑_{k=0}^{N-1} ( n_eff( gamma[k] ) / c_ref( gamma[k] ) ) · Δell[k]。

VIII. 选择口径的判据与记录

• 若满足 max_{ell ∈ [0,L]} | δc_ref / c_ref | ≤ eta_c 且 eta_c 低于计量阈值，采用常量外提口径。
• 当 c_ref 与状态或频带有可观测变化时采用一般口径，并在输入层记录 c_ref( x,t,f ) 的估计方法与不确定度。
• 所用口径、步长策略、界面处理、误差阈值，需记录到实验与仿真日志，支持复现与审计。

IX. 与 n_eff 结构的耦合

• 各向同性近似：当采用第5章 S20-28，被积函数主要由 Phi_T 的标量变化决定。
• 各向异性扩展：当采用 S20-29，需在路径切向 t_hat 上显式评估 dot( grad_Phi_T , t_hat )，并在离散时同步输出 t_hat[k]。
• 频带结构：当采用 S20-30，对每个频带节点 f_m 独立积算 T_arr(f_m)，随后进行差分与拟合。

X. 接口与记录规范（调用 I 层）

• arrival_time_constant( n_eff, gamma, c_ref ) -> T_arr 对应常量外提口径。
• arrival_time_general( n_eff, gamma, c_ref ) -> T_arr 对应一般口径。
• 日志字段最小集：hash(n_eff), hash(gamma), N, step_rule, eps_T, interface_marks, mode ∈ {constant, general}，以及 units 与量纲核查结果。

XI. 注意

• gamma(ell) 的生成法、Δell[k] 的权重、坐标系与单位，必须与第1章和计量卷一致。
• 严禁将 T_fil 与 T_trans 混用，严禁将 n 与 n_eff 混用。
• 禁用“波长被拉长”的表述，涉及频谱变化的讨论使用 path term 与 Phi_T 映射的语言。

XII. 交叉引用

• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》S06-*
• 《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》M05-，M10-
• 《EFT.WP.Core.Errors v1.0》M20-*
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》第3章，第5章

XIII. 产出物

• 路径积分实现清单：离散策略、界面处理、收敛测试模板。
• 口径选择与日志模板：常量外提口径与一般口径的记录字段与审计要点。
• 频带差分脚本约定：ΔT_arr(f1,f2) 的计算顺序与阈值设定。