31-EFT.WP.BH.TensionWall v1.0 | 第3章 最小方程与结构模型

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第3章 最小方程与结构模型

I. 一句话目标

一句话目标：给出张度墙 Sigma_TW 的最小结构模型与方程组，定义壁剖面 W(r)、势与折射率的耦合项 H_TW(·)、界面匹配与分段到达时的控制式，并提供频带、定向与多路径组合的可执行表达，满足 n_eff ≥ 1 与能量一致。

II. 范围与非目标

• 覆盖：壁剖面函数与参数化、Phi_T = G(T_fil) 的壁近域关系、n_eff 的壁项、界面匹配与零厚度修正、分段到达时、多路径权重、频带与定向扩展、下界与一致性判据、反演所需敏感度。
• 非目标：不讨论装置级细节与外部天体物理模型；不替代第8章的层间接口流程与第9章的数值实现细节。

III. 术语与符号最小集

• 几何与壁：r（径向），r_H（特征半径），Sigma_TW（壁界面集合），Delta_w（壁厚），外法向 n_vec，路径切向 t_hat。
• 场与势：T_fil(x,t)，Phi_T(x,t)，grad_Phi_T(x,t)。
• 折射率与速度：n_eff(x,t,f)，c_ref，c_loc = c_ref / n_eff。
• 路径与测度：gamma(ell)，d ell，分段路径 gamma_i（由 { ell_i } 切分）。
• 界面能量：R_TW，T_trans，A_sigma，满足 R_TW + T_trans + A_sigma = 1。
• 命名隔离：严禁将 T_fil 与 T_trans 混用；严禁将 n 与 n_eff 混用。

IV. 结构性调用与约束（承接第2章 P40-*）

• 尺度分离：Delta_w << r_H，薄壁有效；否则采用厚壁积分并在日志中标注。
• 可行域与下界：n_eff ≥ 1，据此有 T_arr ≥ L_path / c_ref（一般口径在被积函数中等价体现）。
• 能量一致：R_TW + T_trans + A_sigma = 1；所有权重无量纲且可计量。

V. 壁剖面与势关系（S40-1…S40-3）

• S40-1 壁剖面函数（规范化）
  W(r) ∈ [0,1]，满足
  W( r ≤ r_H − 0.5·Delta_w ) ≈ 0，W( r ≥ r_H + 0.5·Delta_w ) ≈ 1，
  单调区间内 dW/dr > 0。可用任一满足条件的族，例如：
  W(r) = 0.5 * ( 1 + tanh( ( r − r_H ) / sigma_w ) )，其中 sigma_w ≈ Delta_w / 2.
• S40-2 势映射与链式关系
  Phi_T(x,t) = G( T_fil(x,t) )，且 g_T(T_fil) = dG/dT_fil > 0。
  grad_Phi_T(x,t) = g_T( T_fil ) * grad( T_fil(x,t) ).
• S40-3 壁近域有效势
  定义壁近域的辅助量：Xi_TW(r) = | dW/dr |，用于度量“界面强度”。

VI. 有效折射率的壁项耦合（S40-4…S40-8）

• S40-4 基础映射（最小形态）
  n_eff(x,t,f) = F( Phi_T(x,t), grad_Phi_T(x,t), rho(x,t), f ) + H_TW( W(r), Xi_TW(r), f )，
  约束 n_eff(x,t,f) ≥ 1，dim(n_eff) = 1。
• S40-5 各向同性小梯度展开（壁项并入）
  n_eff ≈ a0 + a1*( Phi_T − Phi_0 ) + a2*norm( grad_Phi_T )^2 + u0*W(r) + u1*Xi_TW(r)，
  其中 a0 ≥ 1，u0,u1 为壁项系数（标定获得）。
• S40-6 定向扩展（壁法向响应）
  当存在定向效应，加入
  n_eff ≈ … + b1 * dot( grad_Phi_T , t_hat ) + b1_sigma * dot( grad_Phi_T , n_vec ).
• S40-7 频带结构（带内多项式）
  n_path(x,t,f) ≈ ∑_{m=1}^M c_m(x,t) * ( f − f0 )^m，则
  n_eff = n_common(x,t) + n_path(x,t,f)，n_common 吸收 a0,a1,a2,u0,u1,b1,b1_sigma 的频率无关部分。
• S40-8 规范不变性判据
  若 F 与 H_TW 不显含 Phi_T 的绝对值，则在 Phi_T → Phi_T + const 下 n_eff 不变。

VII. 界面匹配与零厚度修正（S40-9…S40-12）

• S40-9 匹配类型
  连续型：Phi_T^+ = Phi_T^- 且 J_sigma = dot( grad_Phi_T^+ − grad_Phi_T^- , n_vec ) = 0。
  势跃迁型：C_sigma = Phi_T^+ − Phi_T^- ≠ 0，J_sigma = 0。
  通量跃迁型：C_sigma = 0，J_sigma ≠ 0。
  对应在 n_eff 的侧限 n_eff^+ / n_eff^- 必须可计量。
• S40-10 分段积分控制式
  常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ∑_i ∫_{gamma_i} n_eff d ell
  一般口径：T_arr = ∑_i ∫_{gamma_i} ( n_eff / c_ref ) d ell。
• S40-11 零厚度修正（薄壁近似）
  当 Delta_w / r_H ≤ eta_w，可用
  Delta_T_sigma ≈ k_sigma * H( crossing )，其中 k_sigma 由标定，H 为穿越指示函数（每穿越一次加一次）。
• S40-12 能量一致权重
  穿越/反射事件的权重满足 R_TW + T_trans + A_sigma = 1，且各事件对 T_arr 的贡献按其权重加和。

VIII. 多路径组合与“回声”时间（S40-13…S40-15）

• S40-13 总到达时的路径加权和
  设可观测路径族 { gamma_m }，其权重 { w_m } 由几何与 R_TW,T_trans,A_sigma 决定，
  T_arr_total = ∑_m w_m * T_arr[ gamma_m ]，∑_m w_m = 1（或按幅度归一策略）。
• S40-14 往返回路的近似延迟
  若存在近壁往返长度 L_loop，则回声级次 k=1,2,… 的近似延迟
  Delta_T_echo(k) ≈ k * ∫_{loop} ( n_eff / c_ref ) d ell（一般口径）。
• S40-15 频带差分隔离 path term（壁条件保持）
  同一路径上
  常量外提：Delta_T_arr(f1,f2) = ( 1 / c_ref ) * ∫ [ n_path(f1) − n_path(f2) ] d ell
  一般口径：Delta_T_arr(f1,f2) = ∫ [ ( n_path(f1) − n_path(f2) ) / c_ref ] d ell。

IX. 下界与一致性判据（S40-16…S40-18）

• S40-16 到达时下界
  由 n_eff ≥ 1 得：T_arr ≥ L_path / c_ref。
• S40-17 拼接可加与重参数不变
  T_arr[ gamma_1 ∘ gamma_2 ] = T_arr[ gamma_1 ] + T_arr[ gamma_2 ]；参数重标度不改变积分值。
• S40-18 能量一致审计
  任意分段与修正后应满足 R_TW + T_trans + A_sigma = 1；违背则模型或计量需回溯。

X. 反演与敏感度（用于标定 theta）

• S40-19 参数向量
  theta = { a0,a1,a2,u0,u1,b1,b1_sigma, c_m(·), k_sigma }（按需要裁剪）。
• S40-20 一阶变分（常量外提）
  delta T_arr = ( 1 / c_ref ) * ∫ [ (∂n_eff/∂Phi_T) * delta Phi_T + (∂n_eff/∂grad_Phi_T) * grad( delta Phi_T ) + (∂n_eff/∂rho) * delta rho ] d ell + ∑ crossings delta k_sigma.
• S40-21 梯度形式（一般口径）
  ∂T_arr/∂theta = ∫ ( ∂n_eff/∂theta ) / c_ref d ell。
• S40-22 目标函数（示意）
  min_theta ∑ ( ( T_arr_obs − T_arr_mod(theta) ) / u_c )^2 + R(theta )（R 为正则项）。

XI. 厚壁极限与薄壁极限的一致性（S40-23…S40-24）

• S40-23 厚壁极限
  当 Delta_w / r_H 非小，直接对壁层体积分：
  T_arr_layer = ∫_{layer} ( n_eff / c_ref ) d ell，放弃 Delta_T_sigma 近似。
• S40-24 薄壁极限
  当 Delta_w / r_H → 0，T_arr_layer → Delta_T_sigma，两者差值应在误差预算内衰减至阈值以下。

XII. 数值与实现锚点（与第9、10章衔接）

• 分段积分入口：arrival_time_with_TW( n_eff, gamma, Sigma_TW, mode, c_ref )（实现 S40-10 与 S40-11）。
• 剖面装配：build_tension_wall_profile( … ) -> TWProfile（实现 S40-1）。
• n_eff 组装：estimate_neff_TW( Phi_T, grad_Phi_T, rho, f, TWProfile )（实现 S40-4…S40-7）。
• 权重与回声：simulate_multipath_TW( … ) -> { T_arr_i, weights }（实现 S40-13…S40-15）。

XIII. 交叉引用

• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》第4–6章（Phi_T 构建、n_eff 构造、路径与两口径）
• 《EFT.WP.BH.TensionWall v1.0》第2章（公设与适用范围）、第8章（界面匹配与层间耦合）、第9章（建模方法与数值实现）、第10章（实现绑定与 API 规范）

XIV. 产出物

• 最小方程卡片：S40-1 … S40-24。
• 薄壁/厚壁选择与阈值清单（eta_w 与验证步骤）。
• 反演与敏感度骨架（参数向量 theta、目标函数与梯度表达）。