31-EFT.WP.BH.TensionWall v1.0 | 第4章 几何与坐标选择

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 31-EFT.WP.BH.TensionWall v1.0

第4章 几何与坐标选择

I. 一句话目标

一句话目标：在不依赖特定时空解的前提下，给出张度墙 Sigma_TW 的几何表达、坐标系选择与互相映射、路径 gamma(ell) 的构造与重参数不变性、界面交点检测与分段规则，以及法向与切向的计算口径，为第5至第8章的壁剖面、到达时与匹配实现提供稳定几何基础。

II. 范围与非目标

• 覆盖内容：全局与局部坐标体系、球坐标与笛卡尔坐标的互映、r_H 与 Delta_w 的几何参数化、路径与线元、界面交点序列 {ell_i} 的检测、法向 n_vec 与切向 t_hat 的计算、几何离散与误差控制、厚壁与薄壁在几何侧的切换判据。
• 非目标：不重复第3章物理方程，不实现到达时积分与界面匹配细节，不给出装置级测绘与传感布设。

III. 术语与符号最小集

• 坐标与位置：x，r, theta, phi，r_H，Delta_w。
• 路径与测度：gamma(ell)，ell ∈ [0,L]，d ell，L_path = ∫ d ell。
• 界面与集合：Sigma_TW，交点序列 {ell_i}，分段路径 gamma_i。
• 方向量：外法向 n_vec，单位切向 t_hat = d gamma / d ell / norm(d gamma / d ell)。
• 命名隔离与单位：严禁将 T_fil 与 T_trans 混用；n 与 n_eff 严格区分；SI 单位与量纲见附录A。

IV. 坐标系选择与映射

1. 全局坐标默认笛卡尔，局部近壁采用球坐标 r, theta, phi。Contract 中必须声明 coords_spec 与 units_spec。
2. 球坐标到笛卡尔映射写作
   x = r * sin(theta) * cos(phi)
   y = r * sin(theta) * sin(phi)
   z = r * cos(theta)
   逆映与雅可比在实现中自动推导并落盘。
3. 座标选择准则
   • 壁近域的剖面与匹配采用球坐标优先，以简化 W(r) 与 r_H, Delta_w 的表达。
   • 远离壁时按计算便利选择，保证 gamma(ell) 的构造与 d ell 的单位在两系一致。
4. 任何坐标转换必须保持线元一致性，入口强制量纲核查 dim(d ell) = [L]。

V. 壁几何参数化与参考曲面

1. 参考曲面 r = r_H 作为壁中心曲面，壁厚 Delta_w 定义为使 W(r) 从近区到远区跨越的有效宽度。
2. 壁剖面函数 W(r) 的几何约束
   • 单调区间内 dW/dr > 0。
   • 内外两侧渐进平坦，r ≤ r_H − 0.5*Delta_w 与 r ≥ r_H + 0.5*Delta_w 区域满足 |dW/dr| ≈ 0。
3. 几何扰动与非球对称
   允许 r_H = r_H(theta, phi)，此时壁面为 r = r_H(theta, phi)，法向需以局部参数化计算，见第八节。

VI. 路径构造与重参数不变性

1. 路径以 gamma(ell) 表示，ell 是几何弧长。弧长参数化保证 norm( d gamma / d ell ) = 1。
2. 重参数不变性
   对严格单调可微换元 sigma = h(ell)，有
   ∫_0^L g( gamma(ell) ) d ell = ∫_{h(0)}^{h(L)} g( gamma( h^{-1}(sigma) ) ) d sigma。
3. 生成规则
   • 直达路径：由边界条件与端点确定，在选定坐标系下按最短或指定轨迹生成。
   • 反射路径：在 Sigma_TW 处以法向镜面条件或模型给定的有效折射律生成折返段。
   • 多路径族 {gamma_m} 的权重由 R_TW, T_trans, A_sigma 与几何决定，记录在 Contract 的 weights_policy 字段。

VII. 界面交点检测与分段

1. 交点定义：ell_i 满足 gamma(ell_i) ∈ Sigma_TW。
2. 数值检测流程
   • 在离散序列 {gamma[k]} 上寻找 W(r) 或隐函数 F(x)=0 的符号变化区间。
   • 在区间内用二分或弦截细化到目标公差，得到 ell_i。
   • 生成分段 gamma_i = gamma|_{[ell_i, ell_{i+1}]}，每段位于单一介质侧限。
3. 约束
   • 分段端点必须显式并入积分，禁止跨界面插值。
   • 触发统计与端点误差需入日志，用于第11章审计。

VIII. 法向与切向的计算与定向项评估

1. 在球坐标参考曲面 r = r_H 的近似球对称情形
   n_vec = grad(r − r_H) / norm( grad(r − r_H) )，在球面上 n_vec 近似径向。
2. 在非球对称情形 r = r_H(theta, phi)
   • 用参数化 S(theta, phi) = r_H(theta, phi) * e_r(theta, phi) 表壁面。
   • 计算切向对 S_theta, S_phi，法向 n_vec = normalize( S_theta × S_phi )。
3. 切向定义
   t_hat(ell) = d gamma / d ell / norm( d gamma / d ell )。
4. 定向项评估
   若第3章采用定向扩展，需沿路径输出 dot( grad_Phi_T , t_hat ) 与 dot( grad_Phi_T , n_vec ) 两类投影；两者均无量纲化处理需在 Contract 中声明尺度。

IX. 座标变换与单位一致性（计量要求）

1. 入口规则
   • coords_spec 必填，允许 Cartesian 或 Spherical，必要时列出转换矩阵或数值例程哈希。
   • units_spec 必填，长度 m，时间 s，速度 m·s^-1。
2. 一致性检查
   • 路径线元 Δell[k] 与 c_ref 的单位一致；若输入以 km 或 ms，必须在入口映射到 SI 并记录。
   • 多坐标混用时，强制在积分前落入同一系并校验 hash(gamma) 与单位标签。
3. 与路径修正卷对接
   当需要 ECEF 或 ENU 等地理系，按《EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0》声明变换并记录公差。

X. 数值离散与误差控制（几何侧）

1. 离散策略
   • 等弧长采样：Δell = const，适合平滑区域。
   • 自适应采样：在 norm( d^2 gamma / d ell^2 ) 或 |dW/dr| 超阈时缩小步长。
2. 误差预算
   • 局部误差用双阶求积差估计，全局误差以平方和开方累积。
   • 细化试验需给出两档或三档细化比，报告误差斜率与收敛性。
3. 稳定性提示
   • 若分段端点抖动导致 T_arr 震荡，提升交点求解公差并固定插值阶。
   • 任何因几何离散引发的 n_eff < 1 视为实现错误，直接拒绝并记录。

XI. 厚壁与薄壁在几何表示上的切换

1. 切换判据
   • 若 Delta_w / r_H ≤ eta_w，采用薄壁近似并以零厚度修正表示壁层贡献，端点按第七节分段。
   • 否则采用厚壁体积分，路径在壁层内部细分若干子段，步长上限与 Delta_w 成比例。
2. 一致性验证
   • 在薄壁极限的细化序列上，厚壁体积分结果应收敛到薄壁修正，差值低于阈值。
   • 失败则回溯 W(r) 的几何参数或交点检测公差。

XII. 实现绑定与接口（I40-* 对接）

• capture_path(raw_track, coord_spec) -> { gamma[k], Δell[k], t_hat[k] }
• detect_TW_intersections(gamma, TWProfile) -> { ell_i }
• compute_normals(Sigma_TW, at_points) -> { n_vec }
• reparameterize_by_arclength(gamma_raw) -> gamma(ell)
• project_directionals(grad_Phi_T, t_hat, n_vec) -> { dot_t, dot_n }
• ensure_units_and_coords(contract, objects...) -> DimReport
  以上接口在入口执行量纲与单位一致性检查，输出日志字段 hash(gamma)，coords_spec 与 units_spec。

XIII. 交叉引用

• 《EFT.WP.BH.TensionWall v1.0》第3章（最小方程与结构模型），第5章（壁的构建与参数化），第6章（传播与到达时），第8章（界面匹配与层间耦合）。
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》第6章（路径与两口径），附录B（数据 I/O）。
• 《EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0》第1至第4章（坐标与路径修正）。
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》S06-*（记号与算子一致性）。

XIV. 产出物

• 几何与坐标契约清单：coords_spec，units_spec，r_H, Delta_w 的记录模板与哈希字段。
• 路径与交点检测脚本要点：重参数化、分段端点求解、公差与日志规范。
• 法向与定向量计算清单：n_vec 与 t_hat 的数值例程约束与审计项。