32-EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0 | 第3章 最小方程与层化表述

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第3章 最小方程与层化表述

I. 一句话目标

一句话目标：给出层剖面 W_k(chi) 与强度 Xi_k(chi) 的最小可执行定义，建立 n_eff(x,t,f) 的层化耦合表达与两类到达时 T_arr 的分段积分口径，明确下界、规范不变性与频带分解，为后续计量与实现提供统一方程骨架。

II. 范围与非目标

• 覆盖：层剖面族与强度定义（S60-1），势映射与梯度链式（S60-2），n_eff 的海项耦合（S60-3），频带分解（S60-4），两口径分段积分与到达时下界（S60-5），一致性与不变性判据。
• 非目标：不给出具体宇宙学度规推导与天体观测参数；不实现数值算法细节（见第9章）；不讨论装置级硬件。

III. 术语与符号最小集

• 坐标与度规：eta（共形时），chi（共动径向），a(eta)（尺度因子）；线元在 Contract 中声明以保证 d ell 的单位一致。
• 层化海：层索引 k = 1…K；剖面 W_k(chi)，强度 Xi_k(chi) = | dW_k/dchi |，层厚 Delta_k，界面集合 Sigma_sea。
• 场与势：T_fil(x,t)，Phi_T(x,t)，grad_Phi_T(x,t)，其中 Phi_T = G(T_fil) 且 dG/dT_fil > 0。
• 传播与速度：n_eff(x,t,f)，c_ref，c_loc = c_ref / n_eff；路径 gamma(ell)，线元 d ell。
• 能量一致：R_sea，T_trans，A_sigma，满足 R_sea + T_trans + A_sigma = 1。
• 约束：n_eff ≥ 1；T_fil 不得与 T_trans 混用，n 不得与 n_eff 混用。

IV. 层剖面与强度（S60-1）

1. 规范化单调过渡
   W_k(chi) ∈ [0,1]，在层过渡区单调且两侧近常值：
   W_k( chi ≤ chi_k − 0.5·Delta_k ) ≈ 0，W_k( chi ≥ chi_k + 0.5·Delta_k ) ≈ 1。
2. 常用族（择一）
   • 双曲型：W_k(chi) = 0.5 * ( 1 + tanh( ( chi − chi_k ) / sigma_k ) )，sigma_k ≈ Delta_k / 2。
   • 逻辑斯蒂：W_k(chi) = 1 / ( 1 + exp( − ( chi − chi_k ) / sigma_k ) )。
   • 单调样条：在节点 { chi_i } 上约束 0 = W_0 < … < W_N = 1，保证单调与 C^1 或 C^2 光滑。
3. 强度量
   Xi_k(chi) = | dW_k/dchi |，用于度量层界“陡峭度”，在数值上指导步长细化与分段定位。

V. 势映射与链式关系（S60-2）

• 势的单调映射
  Phi_T(x,t) = G( T_fil(x,t) )，g_T(T_fil) = dG/dT_fil > 0（序保持）。
• 梯度链式
  grad_Phi_T(x,t) = g_T( T_fil(x,t) ) · grad( T_fil(x,t) )。
• 意义：为 n_eff = F( Phi_T, grad_Phi_T, … ) 提供可计算梯度，并支持仅依赖 grad_Phi_T 的规范不变情形。

VI. 有效折射率的海项耦合（S60-3）

• 最小形态
  n_eff(x,t,f) = F( Phi_T(x,t), grad_Phi_T(x,t), rho(x,t), f ) + H_sea( { W_k(chi), Xi_k(chi) }_k , f )，并满足 n_eff(x,t,f) ≥ 1 与 dim(n_eff)=1。
• 各向同性小梯度展开（参考态 Phi_0）：
  n_eff ≈ a0 + a1 · ( Phi_T − Phi_0 ) + a2 · norm( grad_Phi_T )^2 + ∑_k ( u0_k · W_k + u1_k · Xi_k )。
• 定向扩展（可选）
  若存在优选方向，引入：+ b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat ) + b1_n · dot( grad_Phi_T , n_vec )（t_hat 为路径切向，n_vec 为层法向）。
• 单位与夹持：a0 无量纲，u1_k 具 1/[L] 维度；实现层必须执行 n_eff ∈ [1, n_max] 夹持并记录触发率。

VII. 频带分解与公共/路径项（S60-4）

• 带内多项式
  在 f ∈ [f0 − Δf, f0 + Δf] 上：n_path(x,t,f) ≈ ∑_{m=1}^M c_m(x,t) · ( f − f0 )^m，阶数 M 由残差阈值裁剪。
• 分解
  n_eff(x,t,f) = n_common(x,t) + n_path(x,t,f)，其中 n_common 吸收 a0,a1,a2, u0_k, u1_k, b1, b1_n 的频率无关部分；差分 Delta_T_arr(f1,f2) 用于隔离 n_path（见第6章）。

VIII. 到达时两口径与分段（S60-5）

1. 分段规则：以 { ell_i } 将路径 gamma(ell) 在 Sigma_sea 处分段，端点显式入积，禁止跨界面插值。
2. 控制式
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∑_i ∫_{gamma_i} n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ∑_i ∫_{gamma_i} ( n_eff / c_ref ) d ell
3. 下界：由 n_eff ≥ 1 得 T_arr ≥ L_path / c_ref（一般口径在被积函数中等价体现）。
4. 薄/厚层等效锚点：当 Delta_k 充分小且满足阈值 eta_w，可用零厚度修正 Delta_T_sigma 近似层贡献；其一致性与门限审计见第6章与第9章。

IX. 不变性与一致性判据

• 规范不变性：若 n_eff 不显含 Phi_T 的绝对值，则对 Phi_T → Phi_T + const 不敏感。
• 两口径一致性：一致性指标 eta_T = | T_arr^{const} − T_arr^{gen} | 应在阈值内；超限需回溯 c_ref 与分解残差。
• 能量一致：对每个层界事件，R_sea + T_trans + A_sigma = 1；侧限 n_eff^± ≥ 1。
• 路径可加：若 gamma = gamma_1 ∘ gamma_2，则 T_arr[gamma] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]（两口径等价成立）。

X. 一阶变分与参数灵敏度（用于计量与反演）

• 常量外提口径的一阶变分
  delta T_arr = ( 1 / c_ref ) * ∫ [ (∂n_eff/∂Phi_T) · delta Phi_T + (∂n_eff/∂grad_Phi_T) · grad(delta Phi_T) + (∂n_eff/∂rho) · delta rho ] d ell + ∑ crossings delta k_sigma。
• 一般口径的参数梯度
  ∂T_arr/∂theta = ∫ ( ∂n_eff/∂theta ) / c_ref d ell（theta 为 a*、u*、b*、c_m、k_sigma 等）。
• 用途：支撑 SeaProfile 与 n_path 的最小二乘/Map 反演与 GUM/MC 不确定度传播（见第7章与第12章）。

XI. 厚层体积分与零厚度修正的一致性（锚点）

• 厚层体积分：当 Delta_k 不满足薄层阈值时，层内贡献需显式体积分 ∫_{layer} ( n_eff / c_ref ) d ell。
• 一致性量化：定义 tau_switch = | T_arr^{thick} − ( T_arr^{thin} + Delta_T_sigma ) |，门限与双算流程见第6章与第9章。

XII. 合格判据与否证线（本章层面）

• 合格：n_eff ≥ 1；两口径控制式与分段书写合规；W_k, Xi_k 与单位/量纲自洽；eta_T 与 tau_switch（若涉及）在阈值内；能量一致与侧限下界达标。
• 否证：稳定出现 n_eff < 1；两口径长期不一致且回溯无解；tau_switch 超阈；跨界面插值或分段缺失；命名混用。

XIII. 实现绑定与接口（与模板接口族对齐）

1. 建议映射：
   • I60-1 build_layered_sea_profile(params) -> SeaProfile（实现 S60-1）
   • I60-2 apply_sea_matching(Phi_T, SeaProfile) -> Phi_T_matched（侧限）
   • I60-3 estimate_neff_sea(Phi_T, grad_Phi_T, rho, f, SeaProfile) -> n_eff（实现 S60-3）
   • I60-4 detect_sea_intersections(gamma, SeaProfile) -> { ell_i, layer_id }（分段）
   • I60-6 arrival_time_in_sea(n_eff, gamma, mode, c_ref) -> T_arr（实现 S60-5）
   • I60-7 delta_arrival_in_sea(n_path_params, f1, f2, gamma, mode, c_ref) -> Delta_T_arr（S60-4 差分）
2. 入口强制量纲核查与下界检查；日志含 hash(SeaProfile)、hash(gamma)、mode、eta_T、tau_switch。

XIV. 交叉引用

• 《EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0》第2章（公设与适用范围 P60-*），第6章（传播与到达时口径），第8章（界面匹配与层间耦合），第9章（建模方法与数值实现）。
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》：两口径与路径积分；频带差分与计量流程。
• 《EFT.WP.Core.Tension v1.0》：势映射与梯度链式。
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》：记号与算子一致性。

XV. 产出物

• 方程卡片：S60-1…S60-5 的定义与使用要点。
• 量纲核查清单：W_k/ Xi_k、n_eff、两口径与 Delta_T_sigma。
• 反演与灵敏度骨架：参数向量、梯度表达与审计字段（eta_T、tau_switch）。