32-EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0 | 第4章 几何与坐标选择

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第4章 几何与坐标选择

I. 一句话目标

一句话目标：在不依赖特定宇宙学解的前提下，规范层化 Energy Sea 的几何表达与坐标口径，给出共形时—共动径向到物理弧长 d ell 的映射、路径 gamma(ell) 的弧长参数化、层界 Sigma_sea 的交点检测与分段规则，以及法向/切向计算与数值步长—误差控制，为后续传播与到达时计算提供稳定几何基础。

II. 范围与非目标

• 覆盖：坐标与度规约定、chi → 物理弧长映射、路径弧长参数化与重参数不变性、法向 n_vec 与切向 t_hat 的计算、层界 { ell_i } 交点检测与分段、与层强度 Xi_k(chi) 联动的自适应步长、数据契约与实现接口锚点。
• 非目标：不推导具体宇宙学度规方程；不提供装置级测绘方案；不替代第9章的求解器细节与性能优化。

III. 术语与符号最小集

• 坐标与度规：eta（共形时），chi（共动径向），a(eta)（尺度因子）；线元在 Contract 中声明。
• 层化海与界面：SeaProfile，层剖面 W_k(chi)，层强度 Xi_k(chi) = | dW_k/dchi |，层厚 Delta_k，界面集合 Sigma_sea。
• 路径与测度：gamma(ell)（弧长参数化路径），ell ∈ [0,L]，线元 d ell，分段路径 gamma_i。
• 方向量：单位切向 t_hat(ell) = d gamma / d ell / norm( d gamma / d ell )，外法向 n_vec 于界面上定义。
• 约束：dim(d ell) = [L]；禁止将 T_fil 与 T_trans、n 与 n_eff 混用。

IV. 坐标与度规到弧长的映射（chi → d ell）

1. 线元声明（数据契约层）
   在 Contract 中给出度规与从共动坐标到物理弧长的映射函数 metric_spec。最小要求：沿路径元素的物理弧长写作
   d ell = a(eta) · norm( d x_comov )，其中 d x_comov 由 chi 与角变量的变化组成。
   • 纯径向段：无角向变化时，d ell = a(eta) · d chi。
   • 含角向段：按所选空间曲率记 d ell = a(eta) · sqrt( d chi^2 + S_k(chi)^2 dΩ^2 )，S_k(chi) 与曲率号型在 Contract 中显式给出。
2. 单位与一致性：任何坐标—度规组合必须保证 dim(d ell) = [L]；入口统一 coords_spec 与 units_spec，并在日志落盘 DimReport。

V. 路径弧长参数化与重参数不变性

• 弧长参数化：生成 gamma(ell) 使 norm( d gamma / d ell ) = 1，保证积分与被积函数耦合良好。
• 重参数不变性：对严格单调可微换元 sigma = h(ell)，有
  ∫_0^L g( gamma(ell) ) d ell = ∫_{h(0)}^{h(L)} g( gamma( h^{-1}(sigma) ) ) d sigma。
• 实现要点：实际捕获的轨迹 gamma_raw(s) 需通过 reparameterize_by_arclength( gamma_raw ) -> gamma(ell) 归一为弧长参数化，以避免因非均匀采样引入的系统误差。

VI. 层界 Sigma_sea 的交点检测与分段

1. 交点定义：ell_i 满足 gamma(ell_i) ∈ Sigma_sea。
2. 数值检测流程
   • 符号变化定位：在离散 { gamma[k] } 上对每层构造判别函数（示例）F_k(chi) = W_k(chi) − 0.5 或使用显式界面隐函数 G_k(chi)=0，搜索符号变化区间。
   • 细化与求根：对每个区间采用二分/弦截/牛顿法细化至公差 tol_x，得到 ell_i。
   • 分段生成：以 { ell_i } 将路径切分为 gamma_i = gamma|_[ell_i, ell_{i+1}]，每段位于单一侧限。
3. 硬规则：端点 { ell_i } 显式纳入积分；禁止跨界面插值；交点与公差需入日志 interface_marks。

VII. 法向 n_vec 与切向 t_hat 的计算

• 切向：t_hat(ell) = d gamma / d ell / norm( d gamma / d ell )（已弧长化则直接为单位向量）。
• 法向（层面参数化）：若界面以参数曲面 S(θ,φ) 给出，其物理位置为 x = X(θ,φ)，则
  n_vec = normalize( ∂X/∂θ × ∂X/∂φ )；若界面由隐式函数 G(x)=0 给出，n_vec = normalize( grad G(x) )。
• 用途：定向扩展项（若启用）需要 dot( grad_Phi_T , t_hat ) 与 dot( grad_Phi_T , n_vec )，在第3章 S60-3 中进入 n_eff。

VIII. 自适应步长与误差控制（与 Xi_k(chi) 联动）

1. 三阈值触发缩步
   • 几何曲率阈值：当 norm( d^2 gamma / d ell^2 ) ≥ tau_geom。
   • 介质变化阈值：当 | d n_eff / d ell | ≥ tau_medium。
   • 层强度阈值：当 Xi_k(chi) ≥ tau_sea（层界陡峭）。
2. 局部误差估计：同段采用双阶求积差作局部误差；全局误差以平方和开方，并要求
   | T_arr^{(fine)} − T_arr^{(coarse)} | ≤ eps_T。
3. 一致性检查：在 Sigma_sea 附近强制对称取样，避免端点偏置；薄/厚层双算的一致性以 tau_switch 审计（见第6、9章）。

IX. 数据契约与记录（实现最小集）

1. Contract 最小字段
   • coords_spec（如 Comoving-Spherical）、units_spec（SI）、metric_spec（度规与 chi → d ell 映射）、mode ∈ {constant, general}；
   • 公差与阈值：eps_T, tau_geom, tau_medium, tau_sea, eta_w, tau_switch；
   • 哈希：hash(SeaProfile)，hash(gamma)；日志：interface_marks:{ ell_i }、DimReport。
2. 一致性钩子：入口必须执行 check_dimension，保证 dim(d ell)=[L]、dim(T_arr)=[T]；审计 T_arr ≥ L_path / c_ref 与能量一致 R_sea + T_trans + A_sigma = 1。

X. 实现绑定与接口锚点（与模板接口族对齐）

• I.Path.Capture → 建议实现：capture_path(raw_track, coord_spec) -> { gamma[k], Δell[k], t_hat[k] }。
• I.Path.Segment → detect_sea_intersections(gamma, SeaProfile) -> { ell_i, layer_id }；segment_integrals(n_eff, gamma, { ell_i }, mode) -> { T_arr_i }。
• I.Interface.ApplyMatching → apply_sea_matching(Phi_T, SeaProfile) -> Phi_T_matched（用于侧限一致）。
• I.Report.Log → 记录 coords_spec/units_spec/metric_spec、阈值与端点公差、DimReport、hash(*)。

XI. 合格判据与否证线（本章层面）

1. 合格判据
   • 度规—弧长映射明确且量纲核查通过；
   • 路径弧长化、端点 { ell_i } 显式入积、无跨界面插值；
   • 三阈值触发生效，eps_T 达标；
   • 日志含 metric_spec、interface_marks、DimReport。
2. 否证线
   • dim(d ell) ≠ [L] 或 T_arr < L_path / c_ref；
   • 交点缺失或端点未入积、跨界面插值；
   • 在层强区未缩步导致收敛失效或 tau_switch 超阈。

XII. 交叉引用

• 《EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0》第3章（层剖面与最小方程）、第6章（传播与到达时）、第8章（界面匹配）、第9章（建模与数值实现）。
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》路径与两口径、差分隔离。
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》算子与记号一致性；《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》单位与可追溯。

XIII. 产出物

• 几何—坐标契约模板：coords_spec、units_spec、metric_spec、阈值集合与哈希字段。
• 路径—分段实施清单：弧长化、交点求解、端点入积、公差与日志规范。
• 法向/切向计算卡：n_vec 与 t_hat 的数值例程约束与审计要点。