34-EFT.WP.Astro.Acceleration v1.0 | 第7章 能量增益与谱形成

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第7章 能量增益与谱形成

I. 摘要与范围
本章在 A_acc(E)、tau_acc(E)、tau_loss(E) 与 tau_esc(E) 的统一口径下，给出稳态与准稳态的谱形成方程与闭式/半闭式解，定义局部谱指数 alpha_loc(E)、转折能标与截断条件，并给出与观测量 dN/dE、Phi(E) 的映射及可检验判据。公式与符号以英文记号并用反引号书写；单位采用 SI；复合表达一律加括号。

II. 依赖与引用

• 统一符号与禁混淆：见第2章表 2-1 与 P12-*。
• 运动学与通道合成：见第3章 S20-*（A_acc(E) 与 tau_acc(E)）、第4章 S30-*（重联）、第5章 S40-*（剪切）、第6章 S45-*（对照与边界）。
• 传输与损失模型：见第8章 S52-*。
• 推断与复现流程：见 Methods.Inference v1.0、Methods.Repro v1.0。

III. 规范锚点（本章新增，S50-*）

• S50-0（净能量变化）：b(E) = dE/dt = E * ( A_acc(E) - A_loss(E) )。
• S50-1（谱形成主方程，稳态）：0 = d/dE ( b(E) * N(E) ) + N(E)/tau_esc(E) + N(E)/tau_loss(E) - Q(E)，其中 Q(E) 为源项（SI 单位一致）。
• S50-2（局部谱指数）：alpha_loc(E) = - d ln N(E) / d ln E。
• S50-3（常参数近似的闭式谱指数）：若在能区内 A_acc、tau_esc、tau_loss 近似常值，则 alpha_loc(E) ≈ 1 + ( 1/tau_esc + 1/tau_loss ) / A_acc。
• S50-4（一般情形的半闭式解）：设 B(E) = b(E)、Λ(E) = ( 1/tau_esc(E) + 1/tau_loss(E) ) / B(E)，则
  N(E) = ( 1 / |B(E)| ) * exp( - ∫_{E_0}^{E} ( Λ(E') dE' ) ) * ( ∫_{E_0}^{E} ( Q(E'') * exp( ∫_{E_0}^{E''} ( Λ(E') dE' ) ) dE'' ) )。
• S50-5（逃逸时间封装）：扩散逃逸以 tau_esc(E) = L_esc^2 / ( kappa_esc * D(E) ) 表示，kappa_esc ∈ (0,∞) 为几何因子，D(E) 为扩散系数。
• S50-6（损失时间封装）：tau_loss(E) = E / | dE/dt |_loss，并以第8章机制分解合成。
• S50-7（转折与上限）：E_br 由 tau_acc(E_br) = tau_loss(E_br) 或 tau_acc(E_br) = tau_esc(E_br) 给出；E_max = max{ E : A_acc(E) > ( 1/tau_esc(E) + 1/tau_loss(E) ) }。
• S50-8（通道合成）：A_acc(E) = A_rec(E) + A_shear(E)（见第3–5章），对照通道见第6章。
• S50-9（观测映射）：dN/dE = - dN/dE（符号同上定义）；微分通量 Phi(E) 以几何与传播因子 C_geom、C_prop 映射：Phi(E) = C_geom * C_prop * N(E)；涉及到达时的量以两种口径并行并记录 delta_form。
• S50-10（谱指数—时标关系的检验式）：在无强能依赖情形下，alpha_spec ≈ 1 + tau_esc / tau_acc；当 tau_loss 主导时，alpha_spec 随 tau_loss / tau_acc 增大而增大。

IV. 正文结构

I. 主方程与量纲校核

• 主方程采用 S50-1；[N(E)] 与 [Q(E)] 的单位一致，[b(E)] = J·s^-1；tau_* 以 s 计。
• b(E) 由通道合成给出：A_acc(E) = A_rec(E) + A_shear(E)；A_loss(E) 与第8章损失项一致（辐射、散逸、碰撞等）。
• 量纲：[alpha_loc] = 1（无量纲）；Phi(E) 含立体角与能量维度（如 m^-2·s^-1·sr^-1·eV^-1）。

II. 近似与边界

• 常参数能区：alpha_loc(E) 用 S50-3；适用于窄能段拟合与分段功率律。
• 弱能依赖：对 A_acc(E)、tau_esc(E)、tau_loss(E) 以一阶展开代入 S50-4，保留指数中至多一次积分核。
• 强损失极限：若 tau_loss(E) << tau_esc(E)，则 alpha_loc(E) 由损失主导并在 E ≥ E_br 处显著增大。
• 逃逸主导极限：若 tau_esc(E) << tau_loss(E)，则 alpha_loc(E) 主要由几何与扩散定标控制。
• 上下边界：低能边界 E_0 由源注入或观测带宽确定；高能上限 E_max 由 S50-7 判定。

III. 谱转折与截断

• 转折判据：满足 tau_acc(E) = tau_loss(E) 或 tau_acc(E) = tau_esc(E) 的能标定义为 E_br；多机制并存时取较小根。
• 软截断：可采用 f_cut(E) = ( 1 + ( E / E_cut )^{p_cut} )^{-1} 作用于 N(E) 或 A_acc(E)；p_cut > 0。
• 硬截断：N(E ≥ E_max) → 0；E_max 以 S50-7 定义并与通道占优能区（第6章）一致化。
• 多转折：当 {tau_acc, tau_loss, tau_esc} 具有不同的能区定标时，N(E) 允许出现多段功率律与连续转折；以分段能区进行拟合与证据比较。

IV. 观测映射与诊断量

• 通量映射：Phi(E) = C_geom * C_prop * N(E)，其中 C_geom 包含源类几何与辐射效率因子，C_prop 包含传播与吸收修正。
• 局部谱指数：alpha_loc(E) = - d ln N / d ln E，以滑动能窗评估并与 tau_* 的能依赖做交叉诊断。
• 偏振关联：在重联主导能区，alpha_loc(E) 的快速变化常与 Pi 的突变协同；在剪切主导能区，alpha_loc(E) 的缓变与 Pi 的平滑漂移协同。
• 到达时项：若引入时序/延迟诊断，涉及 T_arr 的量一律并行记录两种口径：
  T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) 与 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )（显式 gamma(ell) 与 d ell，记录 delta_form）。

V. 关键方程与推导（S-系列）

• S50-1：0 = d/dE ( E * ( A_acc - A_loss ) * N ) + N/tau_esc + N/tau_loss - Q。
• S50-2：alpha_loc = - d ln N / d ln E。
• S50-3（闭式谱指数，常参数）：alpha_loc ≈ 1 + ( 1/tau_esc + 1/tau_loss ) / A_acc。
• S50-4（半闭式解）：N(E) 取 S50-4 的指数-卷积形式。
• S50-5（转折与上限）：E_br : tau_acc = min{ tau_loss, tau_esc }；E_max 同 S50-7。
• S50-6（通道合成）：A_acc = A_rec + A_shear；占优能区见第6章 eta_dom(E)。

VI. 方法与流程（M-系列）

• M50-1（时标聚合）：从第4–5章获得 {A_rec(E), A_shear(E)}，合成 A_acc(E)；由第8章获得 {tau_loss(E), D(E)} 并计算 tau_esc(E)。
• M50-2（谱解与能区分箱）：在能网格上按 S50-4 计算 N(E)，输出 alpha_loc(E) 与分段拟合的功率律参数。
• M50-3（转折检测）：以 tau_acc(E) 与 {tau_loss, tau_esc} 的交点作为种子，结合 alpha_loc(E) 的二阶差分定位 {E_br, E_max}。
• M50-4（多波段拟合）：联合 Phi(E)、时序与偏振的损失函数 L = L_spec + L_timing + L_polar；返回 {posterior, evidence}。
• M50-5（不确定度传播）：对 {A_rec, A_shear, tau_loss, tau_esc} 做扰动与抽样，传播至 {alpha_loc, E_br, E_max} 并给出 68%/95% 区间。
• M50-6（ToA 口径记录）：凡涉及 T_arr 的拟合，一律并行采用两种口径并记录 delta_form。

IV. 与本卷/他卷的交叉引用

• 运动学与通道：第3章 S20-*；第4章 S30-*；第5章 S40-*；第6章 S45-*。
• 传输与损失：第8章 S52-*（D(E)、A_loss(E)、边界条件）。
• 推断与证伪：Methods.Inference v1.0、Methods.Falsification v1.0（证据比、功效分析）。

V. 验证、判据与反例

1. 阳性判据：
   • 存在能区使 tau_acc(E) < min{ tau_loss(E), tau_esc(E) }，且 alpha_loc(E) 在该区间减小（谱硬化）。
   • 转折能标 {E_br} 随通道权重 {A_rec, A_shear} 的调制发生系统性位移。
   • 以 S50-3 或 S50-4 生成的 Phi(E) 与多波段数据在同一能窗内给出一致的谱指数。
2. 阴性判据：
   • 当 k_STG → 0、beta_TPR → 0 或 gamma_Path → 0 而拟合优度不劣时，对应机制被证伪。
   • 将 tau_loss 或 tau_esc 的主导项置零而证据比不降，说明相应损失/逃逸机制非必需。
3. 对照设计：固定源项与边界，依次只保留 {A_rec}、只保留 {A_shear}、二者并存三种情形，比较 {alpha_loc(E), E_br, E_max} 与 Phi(E) 的差异。

VI. 小结与下一章衔接
本章以 S50-* 建立谱形成的主方程与解的族，给出 alpha_loc(E)、转折与上限的程序化提取，并提供 M50-* 的拟合与不确定度传播流程。下一章（第8章）将给出逃逸、传输与损失的合成方程与数值解，闭合与观测的全流程。

V. 图表与清单（本章）

• 图 7-1 能量增益—时标—谱指数关系示意（A_acc、tau_*、alpha_loc 的依赖与转折）。
• 表 7-1 局部符号表（本章新增）

• 表 7-2 谱指数与时标关系（常参数近似）

• 表 7-3 转折与上限提取清单