35-EFT.WP.EDX.OrientedTension v1.0 | 第3章 几何与取向：场、纤维与分布

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第3章 几何与取向：场、纤维与分布

I. 摘要与范围
本章给出取向几何的最小描述：单位取向向量场 n_hat(r,t)、取向分布函数 f_orient(n_hat,r,t) 与序参数张量 Q_ij(r,t) 的定义、归一与相互映射；明确纤维/束（fibers/bundles）的体积分权与体—面—线三类嵌入几何；给出参考系与边界条件的规范写法。所有符号以英文记号并用反引号包裹，单位采用 SI；本章不引入 ToA 项。

II. 依赖与引用

• 版式与编号：见《EFT 技术白皮书与技术备忘模板 全面清单 v0.1》。
• 符号与量纲：第2章（P80-1/4/5/6，表 2-1…2-5）。
• 公设与最小方程：第4章（P80-2/3，S80-3/4）。
• 计量与反演：第5章（M80-1…4）。
• 耦合与输运：第6章（S80-5/6）。
• 能量收支：第7章（S80-7/8）。
• 数值与仿真：第10章（SimStack-OT）。

III. 规范锚点（本章新增）

• P80-7（取向域与测度）：取向定义域为单位球面 S^2，测度 dΩ 为单位球面固有测度，归一条件以 dΩ 计算。
• P80-8（参考系与符号）：默认在流动共动系 (_flow) 报告张量与矩；当需区分片层/剪切几何时用 (_sheet/_shear) 作为域标，不改变物理量单位与量纲。
• S80-1（取向分布归一）：∫_{S^2} f_orient(n_hat,r,t) dΩ = 1。
• S80-2（序参数张量）：Q_ij(r,t) = ⟨ n_i n_j − (1/3) δ_ij ⟩_{f_orient} = ∫_{S^2} ( n_i n_j − δ_ij/3 ) f_orient dΩ。

IV. 正文结构

I. 背景与问题表述

• 取向几何链接微观纤维/链段的方向统计与宏观各向异性响应；f_orient 提供完整统计，Q_ij 给出二阶矩压缩，二者用于耦合与能量平衡闭合。
• 纤维/束的嵌入几何（线/面/体）决定体积分权与边界条件，需要统一测度与域记号以避免歧义。

II. 关键方程与推导（S-系列）

• S80-1（归一）：∫_{S^2} f_orient dΩ = 1，其中 dΩ 为单位球面测度。
• S80-2（Q_ij 定义）：Q_ij = ∫_{S^2} ( n_i n_j − δ_ij/3 ) f_orient dΩ；Q_ij 对称且 Tr(Q)=0。
• 纤维体积分权（定义式，非最小方程）：体内取向平均以 ⟨·⟩_V = (1/V) ∫_V (·) dV，界面/线元分别用 ⟨·⟩_A、⟨·⟩_L；当几何混合时须声明权重 w_V,w_A,w_L 且 w_V+w_A+w_L=1。
• 取向高阶矩（说明）：若需要四阶矩 ⟨n_i n_j n_k n_l⟩，必须在模型卡或附录中显式列出收缩规则与近似（如 Bingham/Maxwell 型闭合），本章不作强制。

III. 方法与流程（M-系列）

1. M80-13（S^2 离散与求积）：
   • 选择球面离散（如等面积剖分、HEALPix 或 Lebedev 点集）；
   • 为每个方向 n_hat^α 配置权重 w_α，满足 ∑_α w_α = 1；
   • 用离散求积近似 ∫_{S^2} g(n_hat) dΩ ≈ ∑_α w_α g(n_hat^α)；
   • 输出误差估计与收敛曲线。
2. M80-14（f_orient → Q_ij 的数值映射）：
   • 由离散 f_α=f_orient(n_hat^α) 计算 Q_ij = ∑_α w_α ( n_i^α n_j^α − δ_ij/3 ) f_α；
   • 校验 Tr(Q)=0 与本征值范围 λ ∈ [−1/3, 2/3]；
   • 记录 SymbolUnitAudit 与数值容差。
3. M80-15（嵌入几何与边界条件）：
   • 线/面/体三类域的边界条件声明：n_hat·n_b = 0/自由/指定 等；
   • 纤维体积分数 φ_f 与对 f_orient 的约束关系；
   • 生成几何—边界的卡片字段（域、测度、权重）。

IV. 与本卷/他卷的交叉引用

• 与第4章：Q_ij 与取向张力映射 S80-3/4 的输入。
• 与第5章：偏振/散射计量到 Q_ij 的反演流程 M80-1…4。
• 与第6章：Q_ij 参与耦合项与输运系数 S80-5/6。
• 与第10章：S^2 离散在 SimStack-OT 的实现与基准。
• 跨卷：见 配套白皮书《能量丝》相应章节的几何与统计定义。

V. 验证、判据与反例

1. 阳性判据：
   • f_orient 归一通过（∫_{S^2} f_orient dΩ = 1），Q_ij 对称、Tr(Q)=0；
   • 离散求积满足收敛阈值，Q_ij 本征值在物理允许域；
   • 线/面/体权重与边界条件一致，量纲审计通过。
2. 阴性判据：
   • 使用非单位测度或遗漏权重，导致归一失败；
   • Q_ij 本征值越界或不满足迹零；
   • 将 Q_ij 与无关量（如 Q0_Z）混用。
3. 对照设计：
   • {等面积, 非等面积} 网格的误差对比；
   • {完整二阶矩, 仅主轴标量} 对耦合与能量收支的影响；
   • {自由边界, 指定取向, 无滑移} 对界面层 Q_ij 的差异。

VI. 交付物与图表清单

1. 交付物：
   • S2Grid.json（球面离散与权重）；
   • QtensorBench.csv（若干标准分布下的 Q_ij 参考值）；
   • GeometryCard.json（域、测度、边界与权重字段）；
   • UnitsAudit.log（量纲与归一审计）。
2. 图表（建议）：
   • 表 3-1 取向符号与测度最小表（n_hat, dΩ, f_orient, Q_ij）；
   • 图 3-1 球面离散示意与权重分布；
   • 表 3-2 典型分布（各向同性/轴对称/双峰）对应 Q_ij 解析/数值结果；
   • 表 3-3 线/面/体嵌入几何的边界条件与权重字段模板。