35-EFT.WP.EDX.OrientedTension v1.0 | 第4章 取向张力公设与最小方程（P/S）

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第4章 取向张力公设与最小方程（P/S）

I. 摘要与范围
本章建立取向张力的公设体系与最小方程簇：以取向能量密度 W_orient 为核心，通过对称性、公设化的零基准与正定性、框架不变性等条件，给出由 W_orient 到取向张力张量 T_fil_ij 的最小构成式，以及序参数演化的最小动力学闭合。所有符号以英文记号并用反引号包裹，单位采用 SI；本章不引入 ToA 项。

II. 依赖与引用

• 取向几何与分布：第3章 S80-1/2（f_orient 归一与 Q_ij 定义）。
• 符号与量纲：第2章（P80-1/4/5/6）。
• 计量与反演：第5章（M80-1…4）。
• 耦合与输运：第6章（S80-5/6）。
• 能量收支与功分配：第7章（S80-7/8）。

III. 规范锚点（本章新增，P80-/S80-）

• P80-2（取向对称性公设）：无极性材料在取向翻转 n_hat → -n_hat 下观测量不变；极性材料须显式区分该对称性破缺。
• P80-3（EDX 收支公设）：控制体内的取向能量与功率项闭合，W_orient 参与第7章能量方程的守恒与耗散分解。
• P80-9（零基准与正定性公设）：各向同性基态 Q_ij=0 下 W_orient=0，且对允许的 Q_ij 扰动有 W_orient ≥ 0。
• P80-10（框架不变性公设）：W_orient 与由其导出的 T_fil_ij 在刚体旋转下客观不变。
• S80-3（取向张力的能量式构成）：
  T_fil_ij = ( ∂W_orient / ∂(∂_i u_j) ) + T^{(Q)}_{ij}，
  其中 T^{(Q)}_{ij} 为经由 Q_ij 映射到张力的非弹性/取向项（见正文）。
• S80-4（序参数最小动力学）：
  ∂_t Q_ij + u_k ∂_k Q_ij − Ω_{ik} Q_{kj} − Q_{ik} Ω_{kj} = − ( Q_ij − Q_ij^eq ) / tau_relax + D_Q ∇^2 Q_ij + S_ij。
  记 Ω_{ij} = ( ∂_i u_j − ∂_j u_i ) / 2；S_ij 为取向源项（如场致对齐），Q_ij^eq 为就地平衡序参。

IV. 正文结构

I. 背景与问题表述

• 从能量视角，取向张力由 W_orient(Q_ij, ∇Q_ij, …) 的变分给出；与仅依赖形变梯度的弹性项并行存在。
• 最小方程需满足：对称性（P80-2）、能量收支闭合（P80-3）、零基准与正定（P80-9）、客观性（P80-10）；并为第5章计量与第6–7章耦合/能量方程提供可识别的参数化。

II. 关键方程与推导（S-系列）

1. S80-3（W_orient→T_fil_ij）
   • 弹性样条项：若 W_orient 含形变梯度 ∂_i u_j，则弹性贡献为
     T^{(el)}_{ij} = ∂W_orient / ∂(∂_i u_j)（单位 Pa）。
   • 取向映射项：在最小线性闭合下，
     T^{(Q)}_{ij} = Λ_{ijkl} Q_{kl}，
     其中 Λ_{ijkl} 满足材料对称性与客观性（同维 Pa）。非线性闭合可写作 T^{(Q)}_{ij} = ∑_m c_m 𝓘^{(m)}_{ij}(Q)（𝓘^{(m)} 为不变量诱导的张量基）。
   • 总取向张力：T_fil_ij = T^{(el)}_{ij} + T^{(Q)}_{ij}。
2. S80-4（Q_ij 动力学）
   • 平流与旋转：∂_t Q_ij + u_k ∂_k Q_ij − Ω_{ik} Q_{kj} − Q_{ik} Ω_{kj}；
   • 弛豫与扩散：− ( Q_ij − Q_ij^eq ) / tau_relax + D_Q ∇^2 Q_ij；
   • 源项：S_ij 以不变量或外场（如 E_vec、B_vec、u_vec 的标量组合）构造，保持对称与迹零。
   • 能量相容性：W_orient 的二次近似 W_orient ≈ (1/2) A Q_ij Q_ij + (1/2) K ∂_k Q_ij ∂_k Q_ij（A≥0，K≥0）与 tau_relax, D_Q 的正定性一致化。

III. 方法与流程（M-系列）

• M80-16（公设一致性校核）：输入候选 W_orient 与 Λ_{ijkl}，自动校核 P80-2/3/9/10 与量纲；输出一致性报告与反例最小集。
• M80-17（零场线性化与参数可识别性）：在 Q_ij≈0 近旁对 S80-3/4 线性化，给出 Λ_{ijkl}、A、K、tau_relax、D_Q 的可识别条件与实验设计矩阵。
• M80-18（构成参数估计）：基于第5章计量数据，最小化 L = L_T + L_Q + L_reg 拟合 {Λ_{ijkl}, A, K, tau_relax, D_Q}；输出 {posterior, evidence} 与不确定度。

IV. 与本卷/他卷的交叉引用

• 与第3章：Q_ij 与 f_orient 的几何—统计输入（S80-1/2）。
• 与第5章：由偏振/散射/力学试验反演 Q_ij 与 T_fil_ij 的计量流程（M80-1…4）。
• 与第6章：耦合项与输运系数以本章 T_fil_ij、Q_ij 为入口（S80-5/6）。
• 与第7章：W_orient 与功率项纳入能量收支（S80-7/8）。

V. 验证、判据与反例

1. 阳性判据：
   • W_orient(Q_ij, ∇Q_ij) 满足零基准与正定，客观性校核通过；
   • 由 S80-3 得到的 T_fil_ij 与实验张力在单位/量纲与对称性上匹配；
   • S80-4 在线性近似下稳定、在实验时标上可辨识（参数后验收敛且证据提升）。
2. 阴性判据：
   • W_orient 导致负能或与 n_hat → -n_hat 不相容；
   • Λ_{ijkl} 破坏材料对称性或客观性；
   • 去除取向项（令 Λ_{ijkl}→0 或 A→0）后拟合优度不劣（机制被证伪）。
3. 对照设计：
   • {仅弹性, 仅取向, 弹性+取向} 构成的证据比；
   • {各向同性 Λ, 各向异性 Λ} 对 T_fil_ij 模式的区分；
   • {含 K, 去 K} 对界面/梯度敏感量的影响。

VI. 交付物与图表清单

1. 交付物：
   • ConstitutiveCard.json（W_orient 结构、Λ_{ijkl}、A,K,tau_relax,D_Q 与单位/量纲）；
   • Identifiability.md（线性化与实验设计矩阵）；
   • EvidenceReport.md（阳/阴性判据、证据比与反例库摘要）。
2. 图表（建议）：
   • 表 4-1 W_orient 的最小参数化与单位；
   • 表 4-2 Λ_{ijkl} 对称性与独立分量计数；
   • 图 4-1 S80-4 的稳定性谱与参数敏感度；
   • 表 4-3 {仅弹性, 仅取向, 组合} 的证据与误差对比。