第5章 平衡与约束：Grad–Shafranov 与拓扑（S30-）
I. 章节目标与结构
- 目标：在轴对称装置（托卡马克等）的统一口径下，给出平衡方程 S30-PC-*、边界与外部线圈耦合、磁面/安全因子/磁剪切的定义与可测映射，以及磁岛/随机层的最小判据与工程指标，使后续稳定性、波/加热与输运章节可在一致的平衡背景上展开。
- 结构：变量与域 → S30-PC-1 Grad–Shafranov 方程 → S30-PC-2 安全因子与磁剪切 → S30-PC-3 磁岛与随机层 → S30-PC-4 边界/线圈耦合与实现绑定 → S30-PC-5 约束指标与能量量化 → 工程实现与记录 → 可证伪准则 → 跨章闭环。
II. 变量与域（Symbols & Domain）
- 坐标与算符：(R,Z,phi) 圆柱坐标；∇·、∇×；Δ* = ( R ∂/∂R ( (1/R) ∂/∂R ) + ∂^2/∂Z^2 )。
- 磁通与函数：psi(R,Z)（极向磁通函数，单位 Wb/2π），F(psi) = R B_phi，压力函数 p(psi)。
- 磁面与平均：⟨·⟩_psi（磁面平均），V(psi)（磁面体积）。
- 安全因子与剪切：q(psi)，s_hat = ( r / q ) ( dq / dr )（或 s_hat = ( d ln q / d ln r )）。
- 边界与线圈：psi_bc(R,Z)（边界磁通），外部线圈电流向量 I_coil 及其几何。
S30-PC-1｜Grad–Shafranov 平衡方程（Minimal）
方程与未知
其中 B = ( 1/R ) ( ∇psi × e_phi ) + ( F(psi)/R ) e_phi，J = (1/μ0) ∇×B。Δ* psi = − μ0 R^2 ( dp/dpsi ) − F(psi) ( dF/dpsi )
轴对称理想 MHD 平衡满足：
边界条件（示例口径）
- 固定边界（Dirichlet）：在最后闭合磁面 LCFS 给定 psi = psi_edge。
- 自由边界：求解域包含外真空与线圈，边界条件为远场势或测量约束，线圈贡献以格林函数或有限元耦合加入。
剖面函数
压力与环向场剖面以 p(psi)、F(psi) 给定或参数化（如分段多项式、SVD 基）。剖面导数 p'(psi)、F'(psi) 的光滑性与单调性为数值稳定硬门。S30-PC-2｜安全因子与磁剪切
安全因子定义
在圆柱近似：q ≈ ( r B_phi ) / ( R_0 B_theta )。q(psi) = ( 1 / 2π ) ∮ ( B · ∇phi ) / ( B · ∇theta ) d theta
一般定义：
磁剪切与测量映射
- 局部剪切：s_hat = ( r / q ) ( dq / dr )；也可记作 s_hat = d ln q / d ln r。
- 诊断映射：q(psi) 与 s_hat 通过磁测、MSE（Motional Stark Effect）或极向束谱线反演获取，⟨·⟩_psi 规定平均口径。
S30-PC-3｜磁岛与随机层（拓扑判据）
共振条件与岛宽
- 共振面满足：q(psi_res) = m / n。
- 磁岛宽度以共振扰动 tilde{psi} 近似：w(n,m) ~ C · sqrt( | tilde{psi} | / | q'(psi_res) | )（C 为几何因子，发布时记录具体实现口径）。
随机层与重叠判据
- Chirikov 重叠数：C = ( w_1 + w_2 ) / Δr；若 C ≥ 1，局部磁面随机化。
- 随机层区的热/粒子通量将偏离各向异性扩散假设，需与第10章 Edge/SOL 模型衔接。
S30-PC-4｜边界/外部线圈耦合与实现绑定（I20-）
线圈—边界—平衡耦合
- 外部线圈电流到 psi 的映射：psi(R,Z) = G(R,Z) * I_coil + psi_plasma（G 为几何-格林算子，* 卷积/叠加）。
- 实现绑定（I20-*）：
- build_boundary(geometry, coils) -> psi_bc(R,Z)
- solve_GS(psi_bc, p(psi), F(psi)) -> {psi, q(psi), J_∥}
- update_coils({psi_target}) -> I_coil（可选闭环）。
S30-PC-5｜约束指标与能量量化（发布口径）
形状与约束
- 纵向伸长与三角形度：kappa(psi)、delta(psi)；内部电感 l_i、极向β β_p、储能 W_MHD = ∫ ( p + B^2/2μ0 ) dV。
- 约束边界：LCFS、X 点与分离器位置由 psi 拓扑确定；其几何参数纳入数据卡。
VI. 工程实现与记录（最小执行口径）
- 必填字段：
solver:{name,version}、profiles:{p(psi),F(psi)}、boundary:{psi_bc, LCFS, X-points}、coils:{geometry, I_coil}、equilibrium:{psi,q(psi),J_parallel}、shaping:{kappa,delta,li,beta_p,W_MHD}、diagnostics_map:{MSE,magnetics}、qa_gates:{check_dim, force_balance, topology}。 - 记录模板：
- s30_equilibrium:
- solver: {name:"GS", version:"1.2.0"}
- profiles:
- p_of_psi: {type:"poly3", coeffs:[...]}
- F_of_psi: {type:"tab", file:"/profiles/F.tbl"}
- boundary:
- psi_bc: "/geo/psi_bc.nc"
- LCFS: "/geo/lcfs.curve"
- Xpoints:{coords:[[R1,Z1],[R2,Z2]]}
- coils:
- geometry: "/geo/coils.dat"
- I_coil_kA: [ ... ]
- outputs:
- psi: "/eq/psi.nc"
- q: "/eq/q.nc"
- Jpar: "/eq/Jpar.nc"
- shaping: {kappa: [...], delta: [...], li: 0.9, beta_p: 0.35, W_MHD_J: 1.2e6}
- diagnostics_map: {MSE:"/diag/mse.cfg", magnetics:"/diag/mag.cfg"}
- qa_gates: {check_dim:"pass", force_balance:"pass", topology:"pass"}
VII. 可证伪准则（S30- 对应）
- J-S30-1（力平衡残差）：|| Δ*psi + μ0 R^2 p'(psi) + F F'(psi) || 超出离散/测量不确定度门限，否决当前剖面或边界。
- J-S30-2（q-profile 不一致）：磁测/MSE 反演 q(psi) 与平衡解显著偏离，否决 p(psi)/F(psi) 或线圈几何。
- J-S30-3（拓扑判据失败）：LCFS/X 点位置与成像不一致，或 C<1 仍出现大范围随机层，否决扰动口径。
- J-S30-4（形状与约束不符）：kappa/delta/li/beta_p/W_MHD 超过验收门或能量闭合失败，否决平衡参数。
VIII. 跨章引用与闭环
- 依赖：第2章（术语与符号）、第3章（公设与物理图像）、第4章（最小方程）。
- 对接：第6章（稳定性与能量原理，δW 与 (n,m) 模式）、第7章（波/加热，n_eff,k_∥,k_⊥ 在平衡上的传播）、第9章（输运闭式在磁面上的平均）、第12章（诊断计量链的 q(psi)/MSE/磁测映射）。