40-EFT.WP.Materials.Superconductivity v1.0 | 第4章 自由能与场方程：GL–London–BCS 合流

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第4章 自由能与场方程：GL–London–BCS 合流

I. 目标与适用域
本章给出非常规超导在本卷语境下的最小自由能泛函与场方程组，在 T_fil 与 grad T_fil 的参与下实现 GL–London–BCS 的一致化使用；导出可与实验量直接比对的关系式，并明确边界条件与尺度层级。所有公式/符号/定义统一英文并可通过 check_dim 校核；跨卷引用采用“卷名 + 版本号 + 锚点（P/S/M/I）”口径。

II. GL 自由能与稳定性（最小可用形式）

• S40-1（自由能泛函）：
  F = ∫_V [ a|psi|^2 + b|psi|^4 + κ_ij (D_i psi)^* (D_j psi) + (1/2μ0_ref) |B|^2       + λ_1 T_fil |psi|^2 + λ_2 (∂_i T_fil)(psi^* D_i psi + c.c.) ] dV，
  其中 D_i = (∂_i - i q A_i)，B = curl A，i,j ∈ {x,y,z}；a,b,κ_ij,λ_1,λ_2 为有效系数（可随 T_temp、频段与材料变量缓变）。
• S40-2（变分与 GL 场方程）：
  对 psi^* 与 A 变分得
  a psi + 2b|psi|^2 psi - D_i(κ_ij D_j psi) + λ_1 T_fil psi + (λ_2/2)(∂_i T_fil)(2 D_i psi + (∂_i ln w) psi) = 0，
  curl B = μ0_ref J，J_i = q κ_ij Im(psi^* D_j psi) + J_i^{(T)}，
  其中 J_i^{(T)} 表示由 λ_2 (∂_i T_fil) 诱导的张度耦合电流样项（在具体材料模型中由第10章的推断链条定标）。
• S40-3（稳定性与系数号型）：
  b > 0；κ_ij 正定；a(T_temp,T_fil) = a_0 (T_temp/T_c - 1) + a_T[T_fil]。当 a_eff = a + λ_1 T_fil < 0 时出现自发序参量。
• S40-4（各向异性与有效质量张量）：
  定义 κ_ij = (ħ^2/2) (m^{-1})_ij 的等效写法，则相干长度张量 ξ_i 由 κ_ij 与 a_eff 给出：
  ξ_i^2 ≍ κ_ii / |a_eff|（对角主轴系）。

III. London 近似与穿透深度

• S40-5（London 极限）：在弱场与远离缺陷区间，取 |psi| → |psi_0| 常数且 D_i psi ≈ - i q A_i psi，得
  J_i ≈ - q^2 |psi_0|^2 κ_ij A_j + J_i^{(T)}。
• S40-6（各向异性 London 方程）：
  代入 curl B = μ0_ref J，得
  curl ( Λ · curl B ) + B = curl ( Λ · μ0_ref J^{(T)} )，
  其中 Λ = (λ_L^2)_tensor，定义
  (λ_L^{-2})_{ij} = μ0_ref q^2 |psi_0|^2 κ_ij。若忽略 J^{(T)}，即得标准各向异性 London 方程。
• S40-7（临界场关系与实验可比对量）：
  H_c1、H_c2 与 λ_L、ξ 的关系在各向异性主轴系近似为
  μ0_ref H_c1 ~ (Φ0_ref / 4π λ_{L,⊥}^2) ln(λ_{L,⊥}/ξ_⊥)，
  μ0_ref H_c2(ê) ~ Φ0_ref / (2π ξ_⊥(ê) ξ_∥(ê))，
  其中方向依赖由 κ_ij 与 T_fil 引入的各向异性共同决定。

IV. BCS/强关联系列近似与系数映射

• S40-8（微观到 GL 的映射骨架）：以配对基底 {φ_ℓ(k)} 展开 Delta(k) = ∑_ℓ Δ_ℓ φ_ℓ(k)，在弱耦或中等耦合区，
  a = N(0) (T_temp/T_c - 1) + a_T[T_fil]，b ∝ N(0)⟨|φ_ℓ|^4⟩/β，
  κ_ij ∝ ⟨v_i v_j⟩_FS / α，并允许 λ_1, λ_2 作为“顶点修正”由 T_fil, grad T_fil 调制；尖细细节由材料依赖的动量积分确定（在第11章案例库内以数据卡固化）。
• S40-9（节点与各向异性重整）：η_ij[T_fil, grad T_fil] 改写 κ_ij 的对称性分量并可产生通道混合；当 grad T_fil · e_c ≠ 0 且界面反演对称破缺时，允许奇/偶宇称混合并在 GL 层进入 λ_2 项的有效耦合。

V. 线性化 GL 及 H_c2 的各向异性

• S40-10（临近转变的线性方程）：|psi| 足够小，忽略四次项，得
  - D_i(κ_ij D_j psi) + a_eff psi = 0。在均匀磁场下，采用类 Landau 级数法得到
  H_c2(θ,φ) = Φ0_ref / [ 2π √(det(Ξ_⊥(θ,φ))) ]，
  其中 Ξ 由 κ_ij 与 T_fil 诱导的各向异性共同决定；对轴对称情况还原为常见 H_c2(θ) = H_c2(0)/√(cos^2 θ + γ^{-2} sin^2 θ)，γ = ξ_∥/ξ_⊥。
• M4-1（H_c2 拟合流程）：给定方向扫描数据 {H_c2(θ,φ,T_temp)}，以 Ξ 为参数化对象，联合 λ_L、ξ 的测量矩阵反演 κ_ij(T_temp) 与 λ_1,λ_2 的有效取值区间。

VI. 边界条件与多尺度匹配

• S40-11（界面边界条件·de Gennes 扩展）：
  对法向 n̂，有
  n̂_i κ_ij D_j psi + ζ_1 (n̂ · grad T_fil) psi = 0，
  同时 n̂ × (B_2 - B_1) = μ0_ref K_s；界面若存在 κ_ij 跃迁或 T_fil 不连续，则以连续性与通量守恒约束 A, psi 的跨界条件。
• S40-12（薄膜/层状多尺度）：
  当厚度 d 进入核尺度区间（第3章 K_T, K_G），对面内与法向需采用不同的 κ_ij(d) 与 λ_L(d) 标度；非局域项通过卷积核在 d 上显式出现。
• M4-2（边界参数标定）：通过约瑟夫森结/隧穿谱与磁化回线联合拟合 ζ_1 与界面等效参数；将结果返回第12章实现绑定接口。

VII. 归一化与无量纲形式（用于仿真与反演）

• S40-13（无量纲化）：取标度 ξ_0^2 = κ_0/|a_eff|，psi_0^2 = |a_eff|/2b，Ã = (q ξ_0/ħ) A，r̃ = r/ξ_0，得
  F/(F_0) = ∫ [ -|ψ̃|^2 + (1/2)|ψ̃|^4 + K̃_ij (D̃_i ψ̃)^* (D̃_j ψ̃) + β̃_1 T̃_fil |ψ̃|^2 + β̃_2 (∂̃_i T̃_fil)(ψ̃^* D̃_i ψ̃ + c.c.) + (1/2) |B̃|^2 ] d^3 r̃，
  对应的无量纲 GL 方程便于第10章仿真栈直接调用。
• M4-3（仿真—实验对齐）：以无量纲参数 {K̃_ij, β̃_1, β̃_2} 为主，利用测量矩阵 y = M(θ) 的灵敏度谱优化实验设计（频段/几何/噪声预算）。

VIII. 与实验量的最小对账

• S40-14（观测—参数映射）：
  λ_{L,i}^{-2} ∝ μ0_ref q^2 |psi_0|^2 κ_ii；ξ_i^2 ∝ κ_ii/|a_eff|；H_c1, H_c2 与 {λ_L, ξ} 的函数关系见 S40-7；J^{(T)} 的存在导致微波/THz 透射中的额外相位/振幅耦合项（第7章按 T_arr 数据契约落地）。
• S40-15（参数相关性与可辨识性）：在 κ_ij 与 λ_2 同时弱可辨的区间，优先联合涡旋晶格取向/锁定实验与 H_c2(θ) 角分辨测量以破除简并；可辨识性度量与条件数在第8章给出。

IX. 跨卷引用与本章锚点

• 跨卷引用（固定写法）：
  见《EFT.WP.Core.Equations v1.1》Ch.2 S20-（到达时与路径口径的记法一致化）；
  见《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》Ch.1–3,5（量纲/单位/不确定度与常量集）；
  见《EFT.WP.Core.Tension v1.0》S72-、《EFT.WP.Core.Density v1.0》S92-*（能量一致性校核）。
• 本章锚点（S/M）：
  S40-1–S40-15（如上）；M4-1（H_c2 角分辨拟合）、M4-2（边界参数标定）、M4-3（无量纲仿真—实验对齐）。

X. 小结
本章以含张度耦合的最小 GL 泛函为核心，在 London 极限、线性化 GL 与微观 BCS 映射间建立一致链路，并给出与 λ_L、ξ、H_c1/H_c2 等实验量的直接对账与可执行流程。与第3章的“张度地形—配对通道”规则及第7–8章的测量矩阵和到达时数据契约共同闭环，为第10章的反演与模型比较提供标准化方程组与参数化入口。