40-EFT.WP.Materials.Superconductivity v1.0 | 第10章 反演与参数估计（仿真栈 + 推断）

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第10章 反演与参数估计（仿真栈 + 推断）

I. 目标与范围
本章给出从前向仿真栈到统计推断的统一框架，完成材料/张度参数 θ 的贝叶斯/频率学估计、模型比较与后验诊断，并与第6–8章的“临界/相干窗”“到达时数据契约”“测量矩阵 y = M(θ)”实现闭环。所有公式/符号/定义统一英文，内联用反引号。

II. 前向模型与观测模型（统一记法）

• S100-1（观测方程）：y = M(θ, ν; x) + ε。其中 y 为观测向量（第8章），θ 为待估参数（lambda_L, xi, kappa_i, κ_ij, sigma1(ω), sigma2(ω), d, H_c1, H_c2, ...），ν 为装置/环境扰动（在 cal_bundle 中建模），x 为设计变量（频段/几何/温区/场向/应变等），ε 为噪声项。
• S100-2（路径与到达时通道）：对相位/群延迟通道，T_arr 按第7章两口径其一实现，并在数据/报告层记录 delta_form、gamma(ell) 与 d ell。
• S100-3（多通道堆叠）：y_stack = blkstack{ y^{(band,geom)} }，相干窗内以权重 w(ω) ∝ L_coh(ω) 组合（见第6章）。
• S100-4（张度超参）：在薄膜/层状或非局域情形引入核尺度/强度超参 η = {K_T, K_G, ...}，经 T_fil = T_loc + K * ζ 映射进入 M(·)（见第3、4、6章）。

III. 似然与噪声模型（可拔插）

• S100-5（高斯似然·块结构）：ε ~ N(0, Σ_y)，Σ_y = blkdiag{ Σ_y(ω_k, geom_m)/w_k }，可加入去嵌/解缠的分段项。
• S100-6（稳健似然）：若存在异常点/相位跳变，采用 Student-t 或混合高斯：p(ε) = ∑_c π_c N(0, Σ_c)。
• S100-7（联合通道与校准扰动）：把校准扰动并入 ν，对有效协方差作 Σ_y ← Σ_y + B Σ_ν B^T（B = ∂y/∂ν 来自第8章）。
• M10-1（似然标定流程）：以空载/基底参考与重复测量估计 Σ_y、异常点率与相干窗权重；输出 Σ_y, w(ω), 异常面具。

IV. 先验与物理约束

• S100-8（结构先验）：kappa_i ≥ 1/√2（I/II 型界），lambda_L > 0，xi > 0，sigma1(ω) ≥ 0，sigma2(ω) 平滑先验（如 GP：σ2 ~ GP(0, K(ω,ω'))）。
• S100-9（层状/薄膜先验）：d ~ N(μ_d, σ_d^2)；核尺度 K_T, K_G 取半正态/Log-Normal。
• S100-10（层级先验）：跨样品共享超参（如同一工艺批次的 {A, α_*}），形成 θ_i | ϕ ~ P(θ|ϕ)、ϕ ~ P(ϕ)。
• S100-11（设计变量—张度耦合约束）：对 ∂T_fil/∂ε、∂T_fil/∂p 设置符号/幅度窗（见第9章 S90-*），与可检预言保持一致。
• M10-2（先验整合）：将物理/工程先验写入数据卡 priors: 字段并校核量纲。

V. 推断算法与计算路径

• S100-12（目标）：后验 p(θ, η | y) ∝ p(y | θ, η) p(θ, η)；证据 Z = p(y) = ∫ p(y | θ, η) p(θ, η) dθ dη。
• S100-13（HMC/NUTS）：对中等维度、可微 M(·)，用 HMC/NUTS（质量矩阵/步长自适应，Warm-up 对齐 Fisher 结构）。
• S100-14（SMC/退火/嵌套采样）：用于多峰/强非线性或证据评估（thermodynamic integration/stepping-stone）。
• S100-15（变分推断）：ADVI/流式 VI（Normalizing Flows）用于快速近似与实验设计迭代；以后验校准（PSIS-LOO/Rank SBC）修正偏差。
• M10-3（NUTS 管线）：构建 logp = log p(y|θ,η) + log p(θ,η) → 梯度 → 预条件（基于第8章 F）→ 适配 → 采样/诊断。
• M10-4（VI 管线）：选基分布与变换族 → 证据下界（ELBO）最大化 → 抽样近似后验 → 用 PPC/LOO 审核。
• I10-1 run_hmc(model, data, priors, init, adapt) -> {posterior, rhat, ess, traces}
• I10-2 run_vi(model, data, priors, family) -> {q(θ), elbo_hist, diag}
• I10-3 run_smc(model, data, schedule) -> {weighted_samples, logZ}

VI. 模型比较与证据

• S100-16（候选模型族）：𝓜0: GL–London（局地）；𝓜1: GL–London + 张度梯度项（λ_2）；𝓜2: 非局域核 {K_T, K_G} 启用；𝓜3: 层级/批次共享超参。
• S100-17（证据/信息准则）：精确或近似证据 Z（TI/SS/NS）；近似采用 WAIC/PSIS-LOO/AIC/BIC 作快速排序。
• M10-5（比较流程）：对 {𝓜k} 逐一估计 {logZ_k} 与 LOO_k，输出 Bayes 因子/排名与不确定度。
• I10-4 compute_evidence(traces_or_q, method) -> {logZ, se}

VII. 后验诊断与覆盖度

• S100-18（收敛与混合度）：R̂ < 1.01、ESS/N > 50、能量/步骤统计稳定。
• S100-19（PPC）：生成 y_rep ~ p(y|θ) 与残差 r = y − E[y|θ] 的白噪性/谱斜率/相干窗内一致性检验。
• S100-20（SBC/覆盖度）：对可控子集进行 Simulation-Based Calibration；置信区间覆盖率接近标称值。
• M10-6（诊断报告）：自动输出收敛、相关、PPC 图与覆盖度统计；生成“证据—性能雷达图”。
• I10-5 posterior_predictive(traces_or_q, sim, N) -> {y_rep, metrics}

VIII. 仿真栈集成（前向求解器与接口）

1. S100-21（模块组）：
   • GL/London：S40-* 方程的稳态/线性化解算（FEM/谱法）；
   • 电磁传播：腔/谐振模场、波导/薄膜 S21（FDTD/传输线/本征模展开）；
   • 涡旋与TDGL：S50-* 动力学的粗粒化积分；
   • 薄膜/非局域：核卷积与厚度标度（K_T,K_G）。
2. S100-22（自动微分与雅可比）：为 HMC/VI 提供 ∂y/∂θ、∂logp/∂θ；对黑盒求解器采用伴随/数值差分与稀疏近似。
3. M10-7（仿真—推断耦合）：以统一 API 将 SimStack 输出映射到测量矩阵通道并校核量纲。
4. I10-6 simulate_forward(θ, η, x, channels) -> {y_hat, J, meta}

IX. 合成数据与基准

• S100-23（基准套件）：四类体系样例（Cuprates / Fe-based / Heavy-Fermion / 2D），含已知真值 {θ_true, η_true} 与多通道观测。
• M10-8（SBC/基准回归）：在不同噪声/漂移/异常率下评测 HMC/VI/SMC 的偏差与方差，形成“方法选择表”。
• I10-7 make_synthetic(case_id, noise, drift, outliers) -> {data, truth}

X. 输出物与数据契约（Inference 段）

• S100-24（数据卡字段）：
• inference:
• model: ["GL-London","GL+gradT","Nonlocal","Hierarchical"]
• likelihood: {type: "Gaussian|StudentT|Mixture", Sigma: "...", weights: "..."}
• priors:
• lambda_L: "HalfNormal(μ,σ)"
• xi: "HalfNormal(μ,σ)"
• kappa_floor: "1/sqrt(2)"
• K_T: "LogNormal(μ,σ)"
• sampler: {algo: "NUTS|SMC|VI", steps: 2000, warmup: 1000, adapt: true}
• diagnostics: {rhat_max: 1.01, ess_min: 50}
• evidence: {method: "TI|SS|NS|WAIC|LOO"}
• contracts:
• T_arr: {convention: "pulled_const|integrand", delta_form: "...", gamma: "...", d_ell: "..."}
• references:
• - "EFT.WP.Materials.Superconductivity v1.0:Ch.6"
• - "EFT.WP.Materials.Superconductivity v1.0:Ch.7"
• - "EFT.WP.Materials.Superconductivity v1.0:Ch.8"
• M10-9（复现包生成）：打包脚本/参数/环境摘要与锚点清单；校验 check_dim 与引用口径。

XI. 与相邻章节对接

• 与第3–4章：前向方程与张度耦合结构（P30-*、S40-*）。
• 与第6章：W_c/W_coh 与 M6-* 输出的派生量/置信区间。
• 与第7章：T_arr 两口径的路径/测度声明与去嵌/解缠输出。
• 与第8章：测量矩阵 J、Fisher 信息与设计优化入口。
• 与第11章：案例库数据卡用于方法评测与证伪。

XII. 本章锚点（S/M/I）

• S100-1—S100-7（观测/似然）；S100-8—S100-11（先验）；S100-12—S100-15（算法）；S100-16—S100-20（比较与诊断）；S100-21—S100-24（仿真栈与契约）。
• M10-1—M10-9（似然标定、HMC/VI/SMC 管线、比较、诊断、仿真耦合、SBC、复现包）。
• I10-1—I10-7（运行、证据、预测、仿真与合成数据接口）。

XIII. 小结
本章将前向仿真与统计推断在统一的数据契约与测量矩阵下耦合，实现对 θ/η 的可计量估计、对模型族的可比较评估，以及对实验设计的可迭代优化；配合第6–8章与案例库，第11章可直接复用本章产物完成跨材料体系的验证与证伪。