42-EFT.WP.Heat.Decoherence v1.0 | 第5章 波动—耗散与谱估计：FDT/Johnson/1/f/TLS

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 42-EFT.WP.Heat.Decoherence v1.0

第5章 波动—耗散与谱估计：FDT/Johnson/1/f/TLS

I. 目标与适用域

• 在统一计量口径下建立波动—耗散关系（FDT）与谱估计（Welch/多锥/贝叶斯）的最小可用框架，覆盖 Johnson–Nyquist 热噪声、1/f 与 TLS（two-level systems）噪声；把 S_{xx}(ω)、J(ω) 与响应 χ(ω) 的关系显式化，并为第4、7章的退相干率 Γ_1, Γ_φ 提供可计算输入。
• 所有公式/符号/定义统一英文并用反引号；单位采用 SI；ω/f 与 PSD 单/双边口径遵循第2章固定。

II. 最小方程与公设（S50-*）

1. S50-1（FDT·量子形式）：S_{xx}(ω) = 2 coth( ħω / (2 k_B T) ) · Im χ_{xx}(ω)；Im χ_{xx}(ω) ≥ 0（被动性）。
2. S50-2（FDT·经典极限）：当 k_B T ≫ ħω，coth(ħω/2k_B T) ≈ 2k_B T / (ħω)，得 S_{xx}(ω) ≈ 4 k_B T · Im χ_{xx}(ω) / (ħω)。
3. S50-3（Johnson–Nyquist）：电阻 R 的电压噪声：S_VV(f) = 4 k_B T R（单边 f 口径，单位 V^2/Hz）；等效电流噪声 S_II = 4 k_B T / R。
4. S50-4（互谱与相干）：γ_{xy}^2(ω) = |S_{xy}(ω)|^2 / ( S_{xx}(ω) S_{yy}(ω) )，0 ≤ γ_{xy}^2 ≤ 1。
5. S50-5（1/f 与 TLS 光谱）：
   • 1/f：S(ω) = A^2 / |ω|^γ（0<γ≈1），低频主导纯退相干 Γ_φ = (1/2) S_{AA}(0)。
   • TLS：S_{TLS}(ω) = Σ_i (4 τ_i)/(1 + ω^2 τ_i^2) · w_i 或经分布 P(τ)∝1/τ 连续化得到近 1/f。
6. S50-6（滤波函数映射）：控制序列下有效谱 S_eff(ω) = S_{AA}(ω) |F(ω)|^2；二能级近似的相干衰减 χ(t) = (1/π) ∫_0^∞ dω S_eff(ω) · (sin^2(ω t/2)/ω^2)。
7. S50-7（Parseval 校核）：Var[x(t)] = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} S_{xx}(ω) dω（双边口径），用于时/频域能量一致性检查。

III. 模型与推导（Johnson / 1/f / TLS / 响应）

• Johnson–Nyquist：由电导响应 Y(ω)=1/Z(ω) 与 FDT 得 S_{II}(ω) = 2 ħω coth(ħω/2k_B T) Re{Y(ω)}；经典极限恢复 4 k_B T Re{Y}。
• 1/f 模型：来源于宽分布弛豫过程 P(τ)∝1/τ 或结构缺陷；在有限观测时间 T_obs 下低频截断 ω_L ≈ 2π/T_obs。
• TLS 噪声：分布化的洛伦兹谱叠加；在温度/频率扫描下 S(ω,T) 的斜率可用于区分 TLS 与 Johnson 通道。
• 响应函数：χ_{xx}(ω) 由系统微观模型或测量拟合获得；被动性与因果性保证 Im χ ≥ 0 与 Kramers–Kronig 关系。

IV. 计量链与数据契约（必备字段）

unit_system: "SI"

spectral_conventions:

fourier: {forward: "∫ f(t) e^{-iωt} dt", inverse: "(1/2π) ∫ F(ω) e^{iωt} dω"}

psd: {type: "one-sided|two-sided", freq: "ω|f"}

fdt:

classical: "S_VV = 4 k_B T R"

quantum: "S_xx(ω) = 2 coth(ħω/2k_B T) · Im χ_xx(ω)"

models:

one_over_f: {A: "<unit>", gamma: "<~1>", omega_L: "<rad/s>", omega_H: "<rad/s>"}

tls: {weights: "<w_i>", taus: "<τ_i>", or_dist: "P(τ)∝1/τ", omega_c: "<rad/s>"}

estimation:

method: "Welch|Multitaper|Bayes(AR|GP)"

params: {fs:"<Hz>", nfft:n, window:"hann|dpss", overlap:"<0..1>", dpss_NW:"<...>"}

outputs:

psd: "S_xx(ω)", cpsd: "S_xy(ω)", coherence: "γ_xy^2(ω)", ci: "<method>"

uncertainty:

edof: "<effective dof>", ci_level: 0.95

references: ["Heat.Decoherence v1.0:Ch.2 S20-*","Ch.4 S40-*","Ch.7 S70-*"]

V. 谱估计算法（M5-*）

1. M5-1（Welch）：分段加窗→重叠→功率谱平均；记录等效自由度 edof ≈ 2 K（K 为独立平均数）；修正窗归一化与带宽损失。
2. M5-2（多锥 Multitaper）：DPSS（NW 带宽参数）生成一组正交窗；谱估计 Ŝ(ω) = Σ_l w_l |F_l(ω)|^2；Thomson 估计兼顾泄漏与方差。
3. M5-3（贝叶斯 PSD）：
   • AR/ARMA 先验：最大后验或 MCMC 估计谱；
   • GP on log-PSD：log S(ω) ~ GP(m,k)，自适应平滑并给出可信区间。
4. M5-4（互谱/相干）：计算 S_{xy}, γ_{xy}^2；对泄漏与未配准时延进行相位对齐或 FRF 去卷积。
5. M5-5（置信区间与偏差校正）：χ^2 逼近或自助法（block bootstrap）；维持 Parseval 一致性与单位校核。

VI. 实现绑定与接口（I50-*）

• I50-1 estimate_psd(signal, fs, method, params) -> {S_xx(ω), edof, ci}
• I50-2 estimate_cpsd(x, y, fs, method, params) -> {S_xy(ω), coherence}
• I50-3 fit_noise_models(S_xx, family) -> {A, gamma, w_tls, τ_tls, omega_c, ci}
• I50-4 fdt_map_to_chi(S_xx, T) -> {Im χ(ω), Re χ(ω) via K-K}
• I50-5 build_S_eff(S_AA, F) -> {S_eff(ω), χ(t)}

错误码：E/INPUT（缺参）、E/UNIT（单位不符）、E/NUMERIC（谱不正/不收敛）、E/MODEL（拟合失败）。

VII. 质量门（本章适用）

• Q1 口径一致：PSD 单/双边与 ω/f 选择全链一致；变更须版本化并在数据卡声明。
• Q2 单位/量纲：check_dim 通过；相位 PSD 用 rad^2/Hz、电压 V^2/Hz、电流 A^2/Hz 等明确。
• Q3 泄漏与偏差：记录窗归一化、等效噪声带宽（ENBW）与频率解析度；对谱泄漏和起伏做校正。
• Q4 平稳性与混叠：门限检测非平稳/漂移；防混叠（anti-alias）与带宽控制；必要时去趋势/去均值。
• Q5 Parseval 与交叉验证：时/频域能量一致；用独立数据或温度/频段交叉检验 1/f/TLS 拟合与可信区间。

VIII. 交叉引用与本章锚点

• 交叉引用（固定写法）：第2章（计量口径）、第4章（开放量子系统）、第7章（平台化退相干通道）、第10章（鲁棒策略—动态解耦与滤波函数）。
• 本章锚点：
  最小方程：S50-1—S50-7；流程：M5-1—M5-5；接口：I50-1—I50-5。

IX. 小结
本章以 FDT 为桥，统一 Johnson、1/f 与 TLS 等关键噪声模型与谱估计方法，形成从测量→谱→响应/通道→退相干的闭环；配合标准数据契约、质量门与实现接口，可在跨平台/跨温区下稳定获得可信的 S_{xx}(ω) 与 S_eff(ω)，并为第4、7章提供可追溯的退相干率输入。