第6章 传热与非平衡：Fourier/Cattaneo/BTD/Landauer
I. 目标与适用域
- 建立宏观—介观—量子三层一致的传热与非平衡描述：Fourier 扩散律（抛物型）、Cattaneo–Vernotte（双曲型、有限传播速率）、玻尔兹曼传输方程（BTE，RTA/MC）、以及 Landauer 量子热导公式；给出与退相干建模相关的温度场 T(r,t)、热流 q(r,t)、界面/尺寸效应与有效参数 κ(T), α(T), R_K 的映射与计量链。
- 全文公式/符号/定义统一英文并用反引号；单位 SI；ω/f 与 PSD 口径按第2章固定。
II. 最小方程与公设（S60-*）
- S60-1（Fourier 扩散律）：q = -κ ∇T，∂_t T = α ∇^2 T + (Q/ρ c)；[κ]=W·m^-1·K^-1，[α]=m^2·s^-1。
- S60-2（Cattaneo–Vernotte 双曲型）：τ_q ∂_t q + q = -κ ∇T；消去 q 得 τ_q ∂_{tt} T + ∂_t T = α ∇^2 T + (Q/ρ c)；[τ_q]=s。
- S60-3（Green–Kubo 与有效导热）：κ = (1/(k_B T^2 V)) ∫_0^∞ ⟨ J_Q(0) · J_Q(t) ⟩ dt；J_Q 为热流总量，保证被动性与因果性。
- S60-4（BTE·RTA 形式）：∂_t f + v·∇_r f = -(f - f_eq)/τ(ω,p,T)；能量密度 E = ∫ ħω f D(ω,p) dω dp，能流 q = ∫ ħω v f D dω dp。
- S60-5（扩散—弹道—流体三相图）：Kn 数 Kn = l_mfp / L；Kn≪1 扩散，Kn≫1 弹道，Kn≈O(1) 需 BTE；当声子–声子动量守恒增强时出现热流体/声子流体区。
- S60-6（Landauer 热导）：一维通道 G_th(T) = ∫_0^∞ (ħω/2π) 𝒯(ω) (∂ n̄/∂T) dω；量子极限 G_0 = (π^2 k_B^2 / 3h) T · N_modes。
- S60-7（界面热阻 Kapitza）：ΔT = R_K q_n；频域/温区依赖 R_K(T,ω) 由声子不匹配/弛豫模型给定；层叠结构等效 R_K,eff = Σ_i R_{K,i}（串联）。
- S60-8（有效介质与尺度修正）：薄膜/纳米线 κ_eff = κ_bulk /(1 + Λ/L)（示例，Λ 为特征散射长度）；膜/梁模态 DOS 修正进入 BTE 的 D(ω,p)。
- S60-9（能量守恒与源项）：任意近似下保持 ∂_t (ρ c T) + ∇·q = Q；数值离散需满足离散能量守恒。
III. 模型与推导（宏观—介观—量子）
- 宏观 PDE 层：Fourier/Cattaneo 适用于 Kn≪1 与弱非平衡；稳态边值与瞬态初边值问题使用 FEM/FVM 求解；对高频/短脉冲需 τ_q 校正。
- 介观 BTE 层：RTA τ(ω,p,T) 由散射机制（U/N、界面、杂质）构成 Matthiessen 和；蒙特卡洛或确定性离散（DOM/SN）计算 q, κ_eff。
- 量子通道层：Landauer 适用于低维/强相干/弹道区；透过率 𝒯(ω) 可由 NEGF/腔谱函数 |χ_c(ω)|^2 获得；与界面 R_K 串并联形成热网络。
- 跨层一致化：以 Green–Kubo 校核 κ_eff；用 BTE/NEGF 的 q 与 PDE 解的 q 在同几何/边界上对账；用 Kn 与 Pe=VL/α 指导模型选择。
IV. 计量链与数据契约（必备字段）
unit_system: "SI"
materials:
kappa_T: "<W/m/K>", alpha_T: "<m^2/s>", rho: "<kg/m^3>", c: "<J/kg/K>"
relaxation:
tau_q: "<s>", tau_RTA: {U: "<s>", N: "<s>", imp: "<s>", boundary: "<s>"}
geometry:
dim: "1D|2D|3D", L: "<m>", mesh: "<file|hash>", bc: {type: "Dirichlet|Neumann|Robin", values: "..."}
interfaces:
R_K: [{pair: "A/B", value: "<K m^2/W>", model: "AMM|DMM|fit"}]
bte:
dos: "<D(ω,p)>", velocity: "<v(ω,p)>", rta: "<tau(ω,p,T)>", solver: "MC|DOM|SN"
landauer:
transmission: "<T(ω)>", nmodes: "<N_modes>", range: {ωmin:"", ωmax:""}
sources:
Q: "<W/m^3>", pulses: {type:"rect|gauss", FWHM:"<s>"}
outputs:
fields: ["T(r,t)","q(r,t)"], effective: ["kappa_eff","G_th","R_K_eff"]
uncertainty:
Σ_y: "<blocks>", priors: {kappa:"...", tau_q:"...", R_K:"..."}
references: ["Heat.Decoherence v1.0:Ch.2 S20-*","Ch.5 S50-*","Ch.7 S70-*"]
V. 算法流程（M6-*）
- M6-1（PDE/Fourier–Cattaneo 求解）：构建网格与边界 → 组装 q 与能量方程 → 隐式/Crank–Nicolson 时间推进 → 出 T(r,t), q(r,t) 与 κ_eff。
- M6-2（BTE·RTA/MC）：导入 D(ω,p), v(ω,p), τ(ω,p,T) → 选择 DOM/MC → 计算能流与 κ_eff → 与宏观层对账。
- M6-3（Landauer 热导）：给定 𝒯(ω) → 计算 G_th(T) 与模块化热网络（串并联 R_K）→ 回传 G_th, R_K_eff。
- M6-4（参数反演与标定）：从热像/微纳热测 T(r,t) 与微量热流 q 拟合 κ(T), τ_q, R_K；给出置信区间与 Fisher 条件数。
- M6-5（跨层一致性）：Green–Kubo 校核、能量守恒核验、Kn/Pe 区域标注与模型选择报告。
VI. 实现绑定与接口（I60-*）
- I60-1 solve_fourier(geom, kappa_T, Q, bc) -> {T(r,t), q(r,t), kappa_eff}
- I60-2 solve_cattaneo(geom, kappa_T, tau_q, Q, bc) -> {T(r,t), q(r,t)}
- I60-3 solve_bte(dos, velocity, tau_rta, solver) -> {q, kappa_eff, stats}
- I60-4 compute_landauer(T_trans, N_modes, T) -> {G_th, R_th}
- I60-5 fit_thermal_params(data, model) -> {kappa(T), tau_q, R_K, cov}
- I60-6 consistency_checks(solns) -> {energy_balance, green_kubo, kn_pe_map}
错误码：E/INPUT（缺参）、E/UNIT（单位不符）、E/NUMERIC（不收敛/能量不守恒）、E/IDENTIFIABILITY（病态）。
VII. 质量门（本章适用）
- Q1 能量守恒：残差 ||∂_t (ρ c T) + ∇·q - Q|| 达到阈值；离散守恒成立。
- Q2 单位/量纲：q/κ/α/R_K 等单位校核 check_dim 通过；报告 ENBW/时间步稳定条件。
- Q3 区域判定：依据 Kn/Pe 标注模型适用区并给出越界告警；必要时切换至 BTE/Landauer。
- Q4 可辨识性：参数反演的 F = J^T Σ^{-1} J 条件数受控；不足时给出带宽/激励改进建议。
- Q5 跨层对账：κ_eff 与 G_th 在相同几何/边界下与 Green–Kubo/实验对账；界面 R_K 串并联规则一致。
VIII. 交叉引用与本章锚点
- 交叉引用（固定写法）：第2章（计量与口径）、第5章（FDT 与谱估计）、第7章（平台退相干通道）、第11章（仿真栈与 SBC）。
- 本章锚点：
最小方程：S60-1—S60-9；流程：M6-1—M6-5；接口：I60-1—I60-6。
IX. 小结
本章统一了 Fourier/Cattaneo/BTE/Landauer 四层传热与非平衡描述，给出从 PDE 到 BTE/NEGF 的求解与标定流程，并以 Green–Kubo 与能量守恒进行跨层对账，输出 T(r,t), q(r,t), κ_eff, G_th, R_K 等量，为第7章平台化退相干通道与第11章仿真栈提供热场与耦合的可追溯输入。