42-EFT.WP.Heat.Decoherence v1.0 | 第9章 计量链与估计：T1/T2/拉姆齐/回波/噪声测温

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第9章 计量链与估计：T1/T2/拉姆齐/回波/噪声测温

I. 目标与适用域

• 建立退相干计量链与参数估计的最小可用框架，涵盖 T_1/T_2 弛豫与相干时间的实验协议（拉姆齐/自旋回波/多脉冲）、观测—参数映射、Fisher/CRLB 与贝叶斯反演、以及基于噪声谱的噪声测温。
• 全文公式/符号/定义统一英文并用反引号；单位 SI；ω/f 与 PSD 口径按第2章固定；谱—速率映射按第4/5章；热传导按第6章；平台通道按第7章。

II. 最小方程与公设（S90-*）

• S90-1（T1 弛豫）：两能级系统激发态占据 P_e(t) = P_e(0) e^{-t/T_1}，T_1 = 1/Γ_1，其中
  Γ_1(ω_0,T) = (π/2) |A_{eg}|^2 J(ω_0) coth(ħω_0/2k_B T)。
• S90-2（T2 相干）：1/T_2 = Γ_φ + (1/2) Γ_1；对准静态噪声 σ_φ^2，短时 C(t) ≈ e^{ - (t/T_φ)^2 }，T_φ = 1/σ_φ。
• S90-3（拉姆齐衰减）：拉姆齐包络
  C_R(t) = exp{ - χ_R(t) }，χ_R(t) = (1/π) ∫_0^∞ dω S_{ΔωΔω}(ω) (sin(ω t/2)/ω)^2。
• S90-4（自旋回波 / CPMG）：回波滤波函数 |F_E(ω,t)|^2 给出
  C_E(t) = exp{ - (1/π) ∫_0^∞ dω S_{ΔωΔω}(ω) |F_E(ω,t)|^2 / ω^2 }；N 脉冲 CPMG 将灵敏度从低频移往 ~ N/t。
• S90-5（噪声测温·FDT）：由测得 S_{xx}(ω) 反推温度
  S_{xx}(ω) = 2 coth(ħω/2k_B T) · Im χ_{xx}(ω)，若 χ 已知，可数值反解 T 或作极限近似 k_B T ≫ ħω。
• S90-6（测量矩阵与 CRLB）：观测 y = h(θ) + ε，ε ~ 𝒩(0, Σ_y)；Fisher
  F(θ) = (∂h/∂θ)^T Σ_y^{-1} (∂h/∂θ)，cov(θ̂) ⪰ F^{-1}（CRLB）。
• S90-7（频漂与参数灵敏度）：若 Δω = (∂ω_0/∂λ) δλ，则 S_{ΔωΔω}(0) = (∂ω_0/∂λ)^2 S_{λλ}(0)，据此将器件偏置噪声映射为 Γ_φ。
• S90-8（读出链路与噪声门限）：读出 SNR 经等效噪声带宽（ENBW）与积分时间 τ_int 折算到 Σ_y，σ_y^2 ∝ ENBW/τ_int。

III. 观测模型与实验协议（拉姆齐 / 回波 / 多脉冲 / 噪声测温）

1. 拉姆齐（Ramsey）：观测 P_e(t_i) = 1/2 [ 1 + V_R e^{-χ_R(t_i)} cos(Δ t_i + φ) ]；拟合参数包含 T_2^* 或谱模型参数 {A, γ, …}。
2. 自旋回波（Hahn echo）：P_e(t_i) = 1/2 [ 1 + V_E e^{-χ_E(t_i)} ]；用于抑制低频漂移，提取中频段谱权重。
3. 多脉冲（CPMG/XY/UDD）：以脉冲数 N、总时长 t 设计滤波通带；采样等效于在 ω_k ≈ kπ N/t 处测 S_{ΔωΔω}(ω_k)。
4. 弛豫测量（T1）：P_e(t_i) 单指数回归或多过程模型（准粒子 + 介质 + 辐射）；与第7章通道分解联合拟合。
5. 噪声测温（Noise thermometry）：
   • 高频：测 S_{xx}(ω) 与 Im χ(ω)，用 S90-5 反解 T；
   • 低频：利用 Johnson–Nyquist S_VV = 4 k_B T R 或谐振器占据 n̄(ω_0,T) 拟合 T。

IV. 计量链与数据契约（必备字段）

unit_system: "SI"

protocol:

type: "Ramsey|Echo|CPMG|XY|T1|NoiseTherm"

timing: {t: "<s>", N: "<pulses>", phases: "<{φ_k}>"}

readout:

snr: "<->", enbw: "<Hz>", tau_int: "<s>", model: "Gaussian|Poisson|custom"

models:

rates: {Gamma1: "<model|table>", Gamma_phi: "<model|table>"}

spectrum: {S_dw: "<model|table>", chi: "<Im χ(ω) or transfer>"}

priors:

theta: {A:"<...>", gamma:"<...>", omega_c:"<rad/s>", T:"<K>", …}

observables:

y: "<P_e(t) or signal>", times: "<{t_i}>", covariance: "Σ_y"

design:

target_ci: {T1:"<%>", T2:"<%>", T:"<K>"}, budget: {time:"<s>", repeats:n}

outputs:

estimates: ["T1","T2","Gamma1","Gamma_phi","T"], spectra: ["S_dw(ω)","Seff(ω)"], ci: "<95%>"

references: ["Heat.Decoherence v1.0:Ch.2 S20-*","Ch.4 S40-*","Ch.5 S50-*","Ch.7 S70-*"]

V. 算法流程（M9-*）

• M9-1（观测—模型组装）：依据协议生成观测模型 h(θ) 与滤波函数 F(ω)，构造 Σ_y。
• M9-2（初值与线性化）：从谱先验或快速回归获取 {T_1,T_2^*,A,γ} 初值；计算 J = ∂h/∂θ 与 Fisher F。
• M9-3（极大似然 / 最小二乘）：解 θ̂ = argmin (y - h(θ))^T Σ_y^{-1} (y - h(θ))；给出 cov(θ̂) ≈ F^{-1}。
• M9-4（贝叶斯反演）：以 p(θ) 与似然 p(y|θ) 进行 HMC/NUTS 或 VI；输出后验均值/置信区间与 logZ。
• M9-5（谱重建与噪声测温）：由 θ̂ 或后验采样重建 S_{ΔωΔω}(ω) 与 Seff(ω)；对噪声测温解 T̂ 并评估不确定度。
• M9-6（实验设计迭代）：基于 F(θ) 或 D/A/E-opt 目标，优化 {t_i, N, repeats} 与读出时间分配以最小化参数方差。
• M9-7（交叉验证与覆盖度）：用独立数据/不同序列检验一致性；NEES/NIS 与 pass@coverage 近标称。

VI. 实现绑定与接口（I90-*）

• I90-1 assemble_protocol(protocol, design) -> {h(θ), F(ω), Σ_y}
• I90-2 estimate_T1T2(y, times, model, priors) -> {T1, T2, Gamma1, Gamma_phi, cov}
• I90-3 infer_spectrum(y, protocol, priors) -> {S_dw(ω), Seff(ω), post}
• I90-4 noise_thermometry(S_xx, chi, band) -> {T_hat, ci}
• I90-5 design_experiment(Fisher, budget, objective) -> {times*, N*, repeats*, expected_ci}
• I90-6 validate_coverage(estimates, cov, metrics) -> {NEES, NIS, pass@coverage}

错误码：E/INPUT（缺参）、E/UNIT（单位不符）、E/NUMERIC（不收敛）、E/IDENTIFIABILITY（病态）、E/MODEL（模型不适用）。

VII. 质量门（本章适用）

• Q1 口径一致：ω/f 与 PSD 单/双边选择与第2/5章一致；滤波函数归一化正确。
• Q2 单位/量纲：P_e(t)、S_{xx}(ω)、χ(ω) 与 Σ_y 单位栏齐全；check_dim 通过。
• Q3 可辨识性：Fisher 条件数在阈内；若 cond(F) 偏大，增加时序点/脉冲数或加入先验。
• Q4 覆盖度与一致性：NEES/NIS 与 pass@coverage 接近标称；不同协议（拉姆齐/回波/CPMG）的一致性达标。
• Q5 可追溯：协议、时序、读出模型、先验与版本哈希写入数据卡；输出 repro_bundle 以保证复现。

VIII. 交叉引用与本章锚点

• 交叉引用（固定写法）：第2章（计量与口径）、第4章（开放量子系统与滤波函数）、第5章（FDT 与谱估计）、第7章（平台通道）、第11章（仿真栈与 SBC）。
• 本章锚点：
  最小方程：S90-1—S90-8；流程：M9-1—M9-7；接口：I90-1—I90-6。

IX. 小结
本章形成从协议设计—观测建模—Fisher/贝叶斯估计—噪声测温—实验设计迭代的退相干计量闭环，输出 T_1/T_2/Γ_1/Γ_φ/T 与 S_{ΔωΔω}(ω) 的可追溯估计，并以标准数据契约、质量门与接口确保跨平台/跨温区、跨协议的一致性与可审计性。