47-PTN Template v1.0 | 第3章 控制式与核心假设

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第3章 控制式与核心假设

I. 方程清单（Control Equations, Sxx-?）

• S20-1｜到达时（路径—测度显式）
  T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
  要求：在元数据记录 delta_form；文内显式 gamma(ell) 与 d ell；n_eff 无量纲，c_ref 为 m/s。
  见《EFT.WP.Core.Equations v1.1》Ch.2 S20-*；《EFT.WP.Core.Metrology v1.0:check_dim》；《EFT.WP.Core.DataSpec v1.0:TARR》。
• S21-2｜相位积累（标量相干窗）
  Phi = ( 2π / λ_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
  约束：λ_ref 与观测频段一致；相干窗在结果页标注。
• S30-1｜输运与连续性（保守形）
  ∂_t ρ + ∇·( ρ v ) = 0
  约束：ρ 为密度或占据；如使用 n 则须声明单位并与 n_eff 区分。
• S31-1｜折射率梯度近轴传播（几何光学极限）
  ∂_z A + (1/2k_ref) ∇_⊥^2 A + i k_ref ( n_eff - 1 ) A = 0
  条件：近轴、小角、缓变介质；k_ref = 2π/λ_ref。
• S40-1｜观测噪声模型（宽带—加性—弱相关）
  y = H[x] + η，其中 η ~ 𝒩(0, Σ) 或按指定稳健分布；H[·] 为系统算子，需在实现层绑定 Ixx-*。
• S50-1｜计量映射与单位闭合
  u_meas = G( u_true ; θ )，并满足 dim( u_meas ) = dim( u_true )；θ 的标定流程对齐 Mx-*。

注：1–6 项为最小控制式集合；使用时可增补专用 Sxx-*，但须保持与本章假设及计量闭合一致。

II. 核心假设（Axioms & Assumptions, Pxx-?）

• P10-1｜路径可测与缓变介质：gamma(ell) 可分段光滑，n_eff 在相干窗内缓变；测度 d ell 与路径一致。
• P10-2｜本地洛伦兹不变（零阶）：在实验/观测局域内以 c_ref 作为传播上限与计时标尺。
• P11-1｜零阶独立 + 一阶弱联动：主要物理量零阶可分解建模；一阶允许随公共背景缓慢漂移，但不改变量纲闭合与守恒口径。
• P12-3｜线性可加（窗内）：在标定相干窗与动态范围内，系统算子 H[·] 可视作线性或分段线性。
• P13-2｜统计正则性：噪声 η 的二阶矩存在；当采用稳健损失时，需提供等价二阶代理以进行误差传播。
• P14-1｜计量一致性：所有表达式通过 check_dim；单位、量纲与符号遵循统一口径（变量用反引号、含除号/积分一律加括号）。

III. 渐近与近似（Asymptotics & Approximations）

• 缓变折射近似（WKB/eikonal）：|∇ n_eff| · L_coh ≪ 1 时，采用 S31-1 几何光学极限；偏离阈值需回退全波或数值法。
• 近轴与小角展开：|θ| ≪ 1、|∇_⊥ A| ≪ |∂_z A|；给出误差上界 O(θ^2)。
• 薄屏近似：介质扰动集中于有限薄层时，使用相位屏 exp( i k_ref ΔOPL )；屏间自由传播用菲涅耳核。
• 一阶耦合展开：背景缓慢漂移 b(·) 引入的改写以 O(ε) 处理：n_eff = n_0 + ε n_1，并记录 ε 的工作域。
• 离散化与数值稳定：积分采用分段求和 ∑ w_i f_i，显式标注 Δell 与窗函数；对比解析式并给出收敛准则。
• 对数域计算：幂乘/卷积型表达式提供 log-sum-exp 等价式以抑制下溢/上溢，保持与原式一致的量纲与基准。

IV. 稳定性与守恒（Stability, Well-posedness & Conservation）

• 良定性：S20-1、S21-2 在 n_eff ∈ L^∞、路径长度有限条件下良定；S30-1 在有界流场 v 与恰当边界条件下保持质量守恒。
• L2 稳定性（传播）：在 ‖n_eff - 1‖_∞ ≤ ε、ε 足够小且 ∇_⊥ 有界条件下，S31-1 的解对初值扰动满足能量范数不增或可控增长。
• 灵敏度界：到达时对介质扰动的一阶灵敏度
  δT_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ δ n_eff d ell )；为噪声传播与实验功效提供下界评估。
• 误差传播：对 y = H[x] + η，若 H 线性，Cov[x̂] = (Hᵀ Σ⁻¹ H)⁻¹；非线性情形采用一阶化或自举法并报告置信区间。
• 不变量与守恒量：在无源、无耗、平稳边界的条件下，S30-1 保持总量守恒；近轴传播保持能流在截面上的守恒到 O(θ^2)。
• 计量闭环：所有结果页提供 check_dim 报告与单位对照；导出清单包含 references[] 与 version 字段以支持复现。

附：控制式登记（可直接纳入仓库）

version: "1.0.0"

equations:

- code: S20-1

name: arrival_time

form: "T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )"

requires:

path: "gamma(ell)"

measure: "d ell"

units:

T_arr: "s"

c_ref: "m/s"

see:

- "EFT.WP.Core.Equations v1.1:S20-1"

- "EFT.WP.Core.Metrology v1.0:check_dim"

- "EFT.WP.Core.DataSpec v1.0:TARR"

- code: S21-2

name: phase_accumulation

form: "Phi = ( 2π / λ_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )"

units:

Phi: "rad"

lambda_ref: "m"

- code: S30-1

name: continuity

form: "∂_t ρ + ∇·( ρ v ) = 0"

units:

rho: "<per context>"

v: "m/s"

- code: S31-1

name: paraxial_propagation

form: "∂_z A + (1/2k_ref) ∇_⊥^2 A + i k_ref ( n_eff - 1 ) A = 0"

units:

k_ref: "1/m"

A: "<field>"

- code: S40-1

name: noise_model

form: "y = H[x] + η"

noise: "Gaussian_or_Robust"

outputs: ["Σ", "residuals"]

- code: S50-1

name: metrology_mapping

form: "u_meas = G( u_true ; θ )"

constraint: "dim(u_meas)=dim(u_true)"

interfaces:

bind_to:

- "Methods.SimStack v1.0"

- "Methods.Repro v1.0"

exports:

must_include: ["references", "version", "check_dim_report"]

实现对接（指令性提示）

• 绑定 I20-compute_arrival_time(path, n_eff, c_ref) -> T_arr（需记录 delta_form）。
• 绑定 I31-propagate_paraxial(A0, n_eff, k_ref, grid) -> A（支持薄屏/自由传播组合）。
• 绑定 I40-fit_noise(y, H, model) -> {Σ, residuals}（稳健/高斯可选）。
• 绑定 I50-calibrate(u_true, θ) -> u_meas 与 Mx-* 计量流程连通。