41-EFT.WP.Comms.Navigation v1.0 | 第5章 几何与可观测性：布设与 GDOP

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第5章 几何与可观测性：布设与 GDOP

I. 目标与适用域

• 本章给出定位/导航系统的几何与可观测性框架：几何矩阵、Fisher 信息、GDOP/PDOP/HDOP/VDOP 定义与性质，二维/三维可观测性与退化分析，覆盖区域的 GDOP 热力图生成与优化布设策略。
• 公式/符号/定义统一英文并用反引号；若观测含到达时量，必须沿用已选定的 T_arr 口径并显式记录 gamma(ell) 与 d ell。

II. 几何与信息度基线

• S50-1（几何矩阵与雅可比）：对观测向量 y，令 H = ∂h/∂x 为关于状态 x = [p_WB, v_WB, q_WB, b_t, …] 的雅可比。将与几何直接相关的列（例如 ∂/∂p_WB 与 ∂/∂b_t）抽取为几何矩阵 G = [∂h/∂p_WB, ∂h/∂b_t]。
• S50-2（Fisher 信息与后验协方差）：在测量协方差 Σ_y 下，F = H^T Σ_y^{-1} H，位置-时钟子块的后验近似协方差 Q = (G^T Σ_y^{-1} G)^{-1}。以 cond(F) 衡量病态程度。
• S50-3（归一化与权重）：为比较不同通道，将 Σ_y 以参考标准差 σ_0 白化：W = Σ_y^{-1/2}，G_w = W G，Q_w = (G_w^T G_w)^{-1}。下述 DOP 指标均基于 Q_w 定义。

III. DOP 指标定义与性质

• S50-4（DOP 定义）：
  GDOP = √( Q_w[xx]+Q_w[yy]+Q_w[zz]+Q_w[tt] )，
  PDOP = √( Q_w[xx]+Q_w[yy]+Q_w[zz] )，
  HDOP = √( Q_w[xx]+Q_w[yy] )，VDOP = √( Q_w[zz] )。其中 t 表示时钟/时间偏置维度（若建模）。
• S50-5（不变性与单调性）：相对于全体观测进行同尺度噪声放缩时，DOP 不变；新增独立锚点或引入互补观测（如 FOA/AOA）时，GDOP 单调不增。
• S50-6（单位与量纲）：DOP 为无量纲；任何映射到位置误差的数值需结合参考标准差 σ_0：PEB ≈ σ_0 · PDOP。

IV. 二维/三维可观测性与退化

• S50-7（秩条件）：二维已知时钟情形至少需 2 个非共线锚点（含 AOA 情形），二维未知时钟或三维已知时钟至少 3 个，三维未知时钟至少 4 个且非共面，以保证 rank(G) ≥ dim([p_WB, b_t])。
• S50-8（高度退化与缓解）：当锚点近共面或视线夹角集中于水平面时，VDOP 急剧增大。引入 FOA、高低差异明显的锚点、或斜视 AOA 可提升垂向信息度。
• S50-9（参考台与同步）：TDOA 对全局时钟弱依赖但对几何更敏感；TOA 的时钟列对 GDOP 贡献显著，使用差分同步或共同视角可降低 Q_w[tt]。

V. 覆盖区域 GDOP 热力图与优化

1. S50-10（区域离散与遮挡）：在区域网格 𝒢 = {r_j} 上评估 G(r_j)；对被遮挡或 NLOS_flag 为真者，剔除相应观测行或放大其噪声。
2. S50-11（GDOP 热力图）：对每个 r_j 计算 PDOP/GDOP 并生成热力图与等值线；报告最大值、均值与分位数（p50/p95）作为覆盖指标。
3. S50-12（布设优化目标）：
   • MinMax：min_S max_{r_j∈𝒢} PDOP(r_j; S)；
   • D-optimal：min_S ∑_{r_j} log det( Q_w(r_j; S) )；
   • E-optimal：min_S max_{r_j} λ_max( Q_w(r_j; S) )。S 为锚点集合。
4. M5-1（GDOP 地图生成流程）：输入 anchors, y_channels, Σ_y, 𝒢 → 计算 G, Q_w, DOP 并输出热力图及统计表。
5. M5-2（布设优化流程）：启发式（贪心/交换）或混合整数规划求解上述目标；支持软约束（布点区域/高度/供电/网络）与硬约束（禁入区/最大点数）。

VI. 在线重配置与自适应规划

• S50-13（运行时重权与切换）：依据实时 Σ_y 与 NLOS_flag 调整观测权重或切换通道，并以 cond(F) 阈值触发重配置。
• S50-14（机群/路侧协同）：共享临时锚点（车—车/UAV—UAV）可在热点区域降低 PDOP；需在数据契约记录临时锚点寿命与同步精度。
• M5-3（在线规划）：滚动时域内最大化 tr(F) 或最小化 GDOP 的行动/调度策略（移动锚点/波束/高度/功率）。

VII. 通道对信息度的贡献（与第4章联动）

• S50-15（TOA/TDOA）：∂/∂p_WB = (1/c_ref) n̂^T 或 (1/c_ref)(n̂_i^T − n̂_0^T)，决定径向几何；参考台选择直接影响 G 的列相关性。
• S50-16（AOA）：提供切向约束，能有效压缩 HDOP；阵列几何（ULA/URA）与校准误差进入 Σ_y。
• S50-17（FOA）：沿 n̂ 的速度约束提升垂向可观测性；与 TOA 融合常显著降低 GDOP。
• S50-18（RSS/CP）：RSS 常作粗约束；CarrierPhase 在整周固定后对 PDOP 有强约束力，整周失败则按浮点解放大不确定度。

VIII. 数据契约（本章必备/推荐字段）

unit_system: "SI"

geometry:

anchors: [{id: "...", p_S: [x,y,z], cov: "<3x3>"}]

forbidden_zones: ["<polygon|volume id>"]

height_constraints: {min: "<m>", max: "<m>"}

channels:

y_channels: ["TOA","TDOA","AOA","FOA","RSS","CP"]

Σ_y: "<block-diagonal or sparse>"

coverage:

grid: {xmin:..., xmax:..., ymin:..., ymax:..., z: "<optional>", step: "<m>"}

metrics: ["PDOP","GDOP","HDOP","VDOP"]

optimization:

objective: "MinMax|D-opt|E-opt"

budget: {max_anchors: k, wiring: "<m>", power: "<W>"}

runtime:

reconf_trigger: {condF_max: "<threshold>", NLOS_rate: "<threshold>"}

references:

- "EFT.WP.Comms.Navigation v1.0:Ch.4 S40-*"

- "EFT.WP.Comms.Navigation v1.0:Ch.10"

- "EFT.WP.Core.Metrology v1.0:Ch.1–3,5"

IX. 实现绑定（接口原型）

• I5-1 compute_dop_maps(anchors, y_channels, Σ_y, grid) -> {maps, stats}
• I5-2 select_anchors(anchors, grid, objective, budget) -> {selected, score}
• I5-3 plan_anchor_layout(area, constraints) -> {S_positions, GDOP_map}
• I5-4 reconfigure_runtime(state, flags, thresholds) -> {actions, expected_DOP}

X. 质量门（本章适用）

• Q1 秩与条件数：确保 rank(G) = dim([p_WB, b_t])；若 cond(F) > κ_th，标记为几何病态并返回布设建议。
• Q2 单位与量纲：DOP 无量纲；所有输入/输出单位可通过 check_dim；角度 rad，距离 m。
• Q3 覆盖统计：热力图须提供 max/mean/p50/p95 等统计；报告最差点位及缓解动作。
• Q4 口径一致：若观测涉及 T_arr，数据卡中必须含 convention/delta_form/gamma(ell)/d_ell。
• Q5 协方差一致性：遮挡/NLOS 的权重调整需同步更新 Σ_y 相应块。

XI. 跨卷引用与本章锚点

1. 跨卷引用（固定写法）：见本卷第2章（术语/计量基线）、第3章（路径与频移）、第4章（观测模型）；见《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》Ch.1–3,5（单位/不确定度）。
2. 本章锚点：
   • 最小方程：S50-1—S50-18
   • 流程：M5-1—M5-3
   • 接口：I5-1—I5-4

XII. 小结
本章以 G/F/DOP 框架量化几何对定位性能的决定性作用，给出覆盖区域的评估与优化布设方法，并提供运行时自适应重配置策略。其输出可直接驱动第10章的实验设计与测量矩阵优化，以及第13章的多场景案例复现与对比。